Zwei Ordnungsrelationen R1 und R2. Was ist mit diesem R genau gemeint?

Question

Aufgabe:
Wir betrachten zwei Ordnungsrelationen R1,R2 ⊆ ℕxℕ sowie deren Durchschnitt R := R1 ∩R2 ⊆ ℕxℕ Beweisen Sie: Ist R eine totale Ordnung, so gilt R1 = R2.

Tipp: Für R = R1 ∩ R2 gilt nRm genau dann, wenn nR1 m und nR2 m gilt.

Problem/Ansatz:

Erstmal verstehe ich bei dem Tipp nicht, was  „nR1m und nR2m“ bedeuten soll. Ich dachte R1 und R2 seien Mengen, die mit der <= Relation (weil es sich ja um eine Ordnungsrelation handelt) sortiert wurden. Was soll also nR1m und nR2m heißen? Ich kann mir das nur so erklären dass mit R1 und R2 keine Mengen gemeint sind, sondern die Relationen, wie zb <=…

Aber weiter oben wird ja noch „R1 und R2 seien Teilmengen von ℕxℕ“ gesprochen. Also sind R1 und R2 doch Mengen? Ich bin verwirrt…

Ich bin dankbar für jede Hilfe…

Answer 1

dass mit R1 und R2 keine Mengen gemeint sind, sondern die Relationen

Relationen sind Mengen. Eine Relation auf der Menge \(M\) ist eine Teilmenge von \(M\times M\).

Ordnungsrelationen sind Relationen, die kleiner- und kleinergleich-Beziehungen verallgemeinern.

Weil kleiner- und kleinergleich-Beziehungen üblicherweise in Infixschreibweise angegeben werden (5 ≤ 7), wird diese auch oft für andere Ordnungsrelationen verwendet. Das heißt man schreibt zum Beispiel 5 R 7 anstatt (5,7) ∈ R.

Comments

Danke! Wenn R eine totale Ordnung sein soll, muss ja gelten dass nRm oder mRn. Muss ich für die Aufgabe also zeigen, dass nR1m und nR2m gilt um zu beweisen dass nRm gilt und muss ich zusätzlich zeigen, dass mR1n und mR2n gilt um zu beweisen, dass mRn gilt? Wenn ja, habe ich dafür leider keinen Ansatz… ich stecke bei der Aufgabe echt fest

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Seien \(R_1,R_2\subseteq \mathbb{N}\times\mathbb{N}\) Ordnungsrelationen, so dass \(R\coloneqq R_1\cap R_2\) eine Totalordnung ist.

Seien \(m,n\in \mathbb{N}\) mit \((m,n)\in R_1\).

Zeige, dass \((m,n)\in R_2\) ist.