Prove that a function f: A ---> B is injective

Question

Bin gerade dabei diese Aufgabe zu lösen, jedoch fällt es mir schwer, da ich nicht weiß, wie ich hier anfangen könnte?

Let A and B be arbitrary sets and let A ≠ ∅. Prove that a function f : A → B is injective if and only if it has a left inverse, that is, there exists a function g : B → A such that g ◦ f = idA.

Kann mir vielleicht jemand Tipps geben, wie man hier herangehen könnte?

LG

Answer 1

Sei f:A--->B eine Funktion, die eine linksinverse hat.

Und seien x,y aus A mit  f(x) = f(y) 

==>    g(f(x) )  = g(f(y))

==>   x = y   , also ist f Injektiv.

Umgekehrt:     Wenn f Injektiv ist, dann gibt es zu jedem y aus Bild(f)

genau ein x aus A mit f(x) = y.   Dadurch kannst du eine Funktion

g :  Bild(f) ---->  A definieren durch  eben  g(y) = x.

Diese Funktion kannst du beliebig auf B ausdehnen ( deshalb ist

wohl A≠∅ gegeben, damit du ein z aus A wählen kannst mit g(y)=z

für y ∉ Bild(f)  )   und es  gilt dann immer noch  gof ( A) = A ,

da die Funktionswerte

für die y ∉ Bild(f) nicht benutzt werden. 

Comments

Boah, wenn ich das nur verstehen würde...

x und y sind aus der selben Menge A? Ich weiß laut Def Injektivität ist dann x = y, heißt mehr oder weniger ich hab zwei mal das selbe Element aus A genommen? Es fällt mir schwer mir das irgendwie vorzustellen. Wie kommst du auf g(f(x)) = g(f(y))? sind das die selben werte also zb x = 1 und y = 1?

LG

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Ich weiß laut Def Injektivität ist dann x = y, heißt mehr oder weniger ich hab zwei mal das selbe Element aus A genommen?

Das heißt ja gerade Injektivität:

Wenn du z.B.  f(x) = x²  hast , dann gibt es verschiedene x'e deren

Bilder gleich sind, etwa  f(-1) = f( 1) .

Aber wenn man sich so etwas bei z.B.  f(x) = 2x+5  denken würde,

also f(a) = f(b)  dann ist ja

2a+5  =  2b+5  

2a  =   2b 

a = b  also  dann muss das eben 2-mal das gleiche x gewesen sein.


Wie kommst du auf g(f(x)) = g(f(y))?    genauso, wie gerade bei 2x+5 

Man denkt sich 2 mit dem gelichen Bild:

Und seien x,y aus A mit  f(x) = f(y)  

und dann muss man ja irgendwie  die Vor. mit dem g

einbringen:; deshalb habe ich einfach mal g auf beiden Seiten

angewandt,  also   g(f(x) )  = g(f(y)) 
und am Ende ergibt sich x = y.  Das ist eigentlich so ein

klassischer Injektivitätsbeweis:

Man nimmt zwei mit dem gleichem Bild und argumentiert

irgendwie, dass die dann auch beide gleich sein müssen.