Bestimmung des Abstands eines Punktes zu einer Ebene aus 3 Punkten

Question

Hallo liebe Mathelounge,

leider eine weitere Frage zu den Vektoren. Ich bearbeite gerade folgende Aufgabe zur Vorbereitung auf die Mathematik 1 Klausur:

"Gegeben Seien die Punkte A = (2; 2; -1), B = (3; 1; 1) und
C = (2; 4; 0).

Berechnen Sie den Abstand des Punktes Q = (-3; 1; 1) von der Ebene durch A, B und C"

In der Vorlesung wurde das ganze Thema "Ebenen" leider nur ganz kurz geschliffen.

Im Internet bin ich auf verschiedene Lösungsansätze gestoßen. 
Unter anderem auf den Ansatz über die "Hessesche Normalform" (http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/abstand-punkt-zu-ebene.html).

Allerdings haben wir weder die Koordinatengleichung noch die Parametergleichung behandelt.

Gibt es noch einen weg, ohne auf diese zurückzugreifen?

Answer 1

Die Koordinatengleichung bekommst du ja, indem du die drei Punkte in die

Form  ax +by +cz = d einsetzt

A = (2; 2; -1), B = (3; 1; 1) und
C = (2; 4; 0).

gibt 

2a+2b-c = d
3a +b + c = d
2a +4b     =d

gibt z.B.

5x +y -2z = 14

gibt Hesse-Form

( 5x +y -2z  - 14 ) / √30    = 0 

Q einsetzen gibt

-16 / √30   also Abstand     16 / √30.

Answer 2

Ohne die Hessesche Normalform wird das recht umständlich. Du kannst dir aber eine Pyramide mit den Eckpunkten A, B; C und Q denken, deren sämtliche Seitenlängen man berechnen kann. Wenn du dann elementargeometrisch die Höhe dieser Pyramide auf ABC durch Q bestimmst, hast du den gesuchten Abstand.

Answer 3

nur weil sie nicht behandelt wurden, heißt das nicht, dass Du sie nicht benutzen darfst. Aber Du brauchst auch weder Koordinaten- noch Parameterform. Du kannst direkt die Normalenform aufstellen und sie in die Hessesche Normalenform überführen. Die Normalenform sieht ja so aus: $$\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{p})=0$$

Dabei ist $$\vec{p}$$ ein beliebiger Punkt der in der Ebene liegt, also z.B. A. Der Normalenvektor n ergibt sich aus dem Kreisprodukt zweier in der Ebene liegender Vektoren, also z.B.: $$\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}$$

Hilft das?