Verständnisfrage zum Kriterium von Sylvester

Question

hallo zusammen,

ich habe ein paar Fragen zum Kriterium von Sylvester.

1) Das Kriterium von Sylvester kann doch nur bestimmen, ob eine Matrix positiv oder negativ definit ist? Für alle anderen muss man also die Eigenwerte berechnen?

2) Das Kriterium von Sylvester "funktioniert" nur mit symmetrischen Matrizen (d.h. A^T = A) ?

3) Wann ist eine Matrix negativ definit?

Danke !

Answer 1

3) \(A\) ist negativ definit, wenn \(-A\) positiv definit ist.

2) Nichtsymmetrische Matrizen kannst Du vorher symmetrisieren, d.h. zu \(S=\frac{1}{2}(A+A^T)\) uebergehen.

1) In der Definition von "semidefinit" kommen keine Eigenwerte vor. Man muss sie folglich auch nicht notwendigerweise bestimmen.

Comments

Was meinst du mit: In der Definition von "semidefinit" kommen keine Eigenwerte vor. Man muss sie folglich auch nicht notwendigerweise bestimmen. 

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\(A\) ist positiv semidefinit, wenn \(x^TAx\ge0\) für alle \(x\) gilt. Das ist die Definition des Begriffs "positiv semidefinit".

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Falls Du ein Kochrezept suchst, kannst Du eines googlen. Z.B. da:

https://homepage.univie.ac.at/reinhard.ullrich/WS2010/Kochrezept_Definitheit.pdf