Wie kann ich für ein gegebenes n zeigen, dass eine Ungleichung gilt?

Question

n ≥ 2

und die Ungleichung  3ⁿ  > 2n+3

Answer 1

Hallo bj,

du hast eine Aussage  A(n): 3ⁿ > 2n +3  , die für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2  gelten soll.

Das zeigt man durch vollständige Induktion in zwei Schritten:

1) Induktionsbasis A(2):   3² > 2*2 + 3  ist wahr  wegen 9 > 7 

2) Induktionsvoraussetzung A(n) →  A(n+1):

3ⁿ⁺¹ =  3 * 3ⁿ  >_IV  3 * (2n +3)  =  6n + 9  =  6n + 6 + 3 = 6 * (n+1) + 3  >  2 * (n+1) + 3

Gruß Wolfgang