zz. Es gilt: V = W⊕W⊥

Question

Aufgabe: Sei V eine endlich dimensionaler SPR. Sei W UR von V. Dann gilt: V = W⊕W^⊥ Meine Lösung wäre folgende: Sei B_w= {w1,...wr} Basis von W. Ergänze B_w zu einer Basis von V ⇒ B_v= {w1,...,wr,vr+1,...,vn} 
D.h. ∀v∈V: v = a₁*w₁+...+a_r*w_r+a_r+1*v_r+1+...+a_n*v_n⇒ W^⊥= L{(vr+1,...,vn)}
⇒ Es sind die Basisvektoren von V auf jeden Fall l.u. und somit der Schnitt zwischen W und W^⊥ leer. ⇒ Es bildet somit eine direkte Summe  da gelten muss, dass dim W + dim W^⊥ = dim V

Also folgt : V = W⊕W^⊥

Stimmt das? oder Was soll ich verändern, dass es korrekt wird? Ich bedanke mich herzlichst im Vorhinein.

Comments

- Unterraeume haben nie leeren Schnitt, 0 ist immer mindestens drin.

- Dein Komplement ist nicht orthogonal. Vektoren aus W und W^⊥ sollen stets orthogonal sein.