das ist meine erste Fourierreihe und ich würde gerne wissen ob mein Ansatz richtig ist oder ob ich totalen Mist rechne.
f(x) ist definiert mit -1 bei -pi < x < 0, 0 für x=-pi/0/pi und 1 für 0 < x < pi
die funktion ist punktsymmetrisch = ungerade = ich brauche nur die sinus koeffizienten
$$ { b }_{ n }\quad =\quad \frac { 1 }{ \pi } \int _{ -\pi }^{ \pi }{ f(x)sin(nx)dx } $$
$$ =\quad \frac { 1 }{ \pi } [\int _{ -\pi }^{ 0 }{ f(x)sin(nx)dx } +\int _{ 0 }^{ \pi }{ f(x)sin(nx)dx } ] $$
$$ =\quad \frac { 1 }{ \pi } [\int _{ -\pi }^{ 0 }{ (-1)sin(nx)dx } +\int _{ 0 }^{ \pi }{ (1)sin(nx)dx } ] $$
_____
$$\int _{ -\pi }^{ 0 }{ (-1)sin(nx)dx } =\quad \frac { -1 }{ n } [{ \frac { -cos(nx) }{ n } ] }_{ \pi }^{ 0 }$$
$$ =\frac { -1 }{ n } [{ \frac { -cos(n*0) }{ n } \quad -\quad \frac { -cos(-n\pi ) }{ n } ] }$$
-cos(0) = -1
-cos(-n*pi) = (-1)^n
$$ \frac { -1 }{ n } [\frac { -1 }{ n } +\frac { (-1{ ) }^{ n } }{ n } ]$$
___
$$ \int _{ 0 }^{ \pi }{ (1)sin(nx)dx } \quad =\quad [\frac { cos(nx) }{ n } { ] }_{ 0 }^{ \pi }$$
$$= \frac { (-1{ ) }^{ n }+1 }{ n } \quad $$
__
$$ { b }_{ n }\quad=\quad \frac { 1 }{ \pi } [\int _{ -\pi }^{ 0 }{ (-1)sin(nx)dx } +\int _{ 0 }^{ \pi }{ (1)sin(nx)dx } ] $$
$$ =\quad \frac { 1 }{ \pi } [\frac { -1 }{ n } [\frac { -1 }{ n } +\frac { (-1{ ) }^{ n } }{ n } ]+\frac { (-1{ ) }^{ n }+1 }{ n }] $$
$$ =\quad \frac { 1 }{ \pi n } [-1 [\frac { -1 }{ n } +\frac { (-1{ ) }^{ n } }{ n } ]+(-1{ ) }^{ n }+1 ]$$
$$=\quad \frac { 1 }{ \pi n } [\frac { -(-1{ ) }^{ n }+1 }{ n } +(-1{ ) }^{ n }+1]$$
Wie würde es weitergehen?
MFG
