Eine Formel für die Länge r(h) in Abhängigkeit von der Hohe h von einem Kegelstumpf angeben.

Question

Ein 15 cm hohes Gefäß hat die Form eines geraden Kegelstumpfes. Der Radius am Boden hat eine Länge vom 20 cm, der Radius mit der kleinsten Länge 11 cm. 

Geben Sie eine Formel für die Länge r(h) in Abhängigkeit von der Höhe h an!

Answer 1

Ich vermute, bei r(h) handelt es sich um die Länge der Seitenlinie.

Ergänzt man den Kegelstumpf zu einem Kegel mit Höhe h_K und Seitenlinie s, dann gilt wegen Strahlensätzen

(1)        (h_k - h)/h = (s - r(h))/r(h)

Außerdem gilt wegen Pythagoras

(2)        s² = h_k² + (20 cm)²

und

(3)       (s - r(h))² =  (h_k - h)² + (11 cm)².

Gleichung (2) nach s auflösen:

(4)        s = √(h_k² + (20 cm)² )

Gleichung (4) in (1) einsetzen:

(5)        (h_k - h)/h = (√(h_k² + (20 cm)² ) - r(h))/r(h)

Gleichung (4) in (3) einsetzen:

(6)        (√(h_k² + (20 cm)² ) - r(h))² =  (h_k - h)² + (11 cm)².

Löse Gleichung (6) nach h_k auf, setze in Gleichung 5 ein und löse nach r(h) auf.