Substitution vor partieller Integration - verstehe die Substitution nicht

Question

Trotz unzähliger Erklärvideos verstehe ich einfach eine Aufgabe nicht, bei der ich erst Substituieren und dann Integrieren soll. Die partielle Integration hinterher habe ich begriffen, aber wie kommt folgendes zustande:

\( \int x^{3} e^{x^{2}} d x \)
Substituiere \( u=x^{2} \rightarrow \frac{d u}{d x}=2 x \)
\( =\frac{1}{2} \int u e^{u} d u \)

Müsste nicht, wenn ich für alle x² u einsetze folgendes kommen:

\( =\int x u e^{u} d x \)

wegen x³ => x²=u => x*x² => x*u

Wäre toll, wenn mir das jemand wirklich einfach erklären kann. Ich kapiere die Substitution nur so einigermaßen und brauche insgesamt etwas länger um das zu kapieren.

Answer 1

Hier meine Lösung der Aufgabe:

Answer 2

und wenn Du es richtig machen wilst, gilt:

(1)

$$ \phi^{-1}(x) = t = x^2 $$

$$ \phi(t) = x= t^{1/2} $$

$$  \phi'(t) = {1\over2}t^{-1/2}$$

$$ \int x^3\exp(x^2) dx $$

$$ = \int t^{3/2} \exp(t) \cdot {1\over2}t^{-1/2} dt $$

$$ = {1\over2} \int t \exp(t) dt $$

(2)

$$ \int x^3 \exp(x^2) dx $$

$$ = {1\over2} \int x^2 \exp(x^2)\cdot 2x \,dx $$

$$ = {1\over2} \int t \exp(t) dt $$

Diese Version nutzt die Rückgängigmachung der Kettenregel und ist deutlich kürzer und einfacher als die Substitution bei (1)

Grüße,

M.B.