Kombinatorik Aufgabe mit Fakultät. Schaufenster mit 5 roten, 3 blauen, 4 grünen und 2 gelben Glühlampen

Question

Ein Elektrogeschäft möchte sein Schaufenster mit 5 roten, 3 blauen, 4 grünen und 2 gelben Glühlampen in einer Reihe dekorieren. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn

1. es keine weiteren Einschränkungen gibt?

2. die Glühlampen gleicher Farbe jeweils neben einander angeordnetwerden sollen?

3. die Reihe mit 2 roten Glühlampen anfangen und aufhören soll?

4. die 3 blauen nebeneinander stehen sollen?

Die Lösung für die 1. Aufgabe wär ja 14!/5!*3!*4!*2!

Warum jedoch oben die einzel Fakultäten addiert? Wie kommen das 14! zustande?

Answer 1

(14!)/(5!*3!*4!*2! )

14! ist die Anzahl der Möglichkeiten 14 verschiedene Lampen anzuordnen.

Die Lampen sind nicht alle verschieden. 

Nun zählt 14! aber z.B. jede Anordnung von 5 gleichen roten Lampen 5! mal und du musst 14! durch 5! teilen. 

Das Resultat musst du dann noch durch 3! teilen, danach wieder das Resultat durch 4! und dann noch durch 2!

Im Ganzen ergibt sich nach Bruchrechengesetzen:

(14!)/(5!*3!*4!*2! )

Answer 2

Zu 2) Hier geht es lediglich um die Anordungen von 4 Farben, die auf 4! Arten möglich sind.

Answer 3

Hallo fb,

nach den Antworten von Lu und Roland bleiben dann noch 3) und 4):

3)

Links und rechts stehen jeweils 2 rote Lampen. Man muss also noch 10 Lampen auf die restlichen Plätze wie bei 1) verteilen:

10! / (3! * 4! * 2!)  Möglichkeiten

4) 

Die Reihe der 3 blauen Lampen kann an 12 Stellen der Gesamtreihe anfangen. Sie können also auf 12 unterscheidbare Arten aufgestellt werden.

Wenn diese aufgestellt sind, muss man noch 11 Lampen wie bei 1) auf die restlichen Plätze verteilen:

12 *11! / (5! * 4! * 2!)  Möglichkeiten

Gruß Wolfgang