$$Z.z.: \forall a\in \mathbb{R}\exists\epsilon>0:\forall N\in \mathbb{N}\exists n\geq N:|n^2-a|\geq\epsilon \\$$
$$Bew.:Sei~~ a∈ℝ~~ bel.~~ Wähle~~ ε=1 ~~und ~~sei~~ N∈ℕ ~~beliebig. \\ Wähle~~n\geq N ~~so,dass~~n\geq\sqrt{\epsilon+a}=\sqrt{1+a}, dieses~~n~~existiert~~wegen~~des~~Archimedischen~~Axioms.\\Es~~gilt~~für~alle~n\geq:|n^2-a|\geq|(\sqrt{\epsilon+a})^2-a|=|\epsilon-a+a|=|\epsilon|=\epsilon\\Meine~~Nebenrechnung: Es~~gibt~~wegen~~des~~Archimedischen~~Axioms~~ein~~n,so ~~dass~~n\geq\epsilon ~~für~~alle~~\epsilon\in\mathbb{R},da~~n^2\geq n,gilt~~insbesondere~~n^2\geq n~~und~~somit: |n^2-a|=n^2-a\geq\epsilon \leftrightarrow n\geq \sqrt{\epsilon+a} $$
Bei mir wird der Text gerade nicht richtig angezeigt :( , funktioniert aber, wenn man es bei der Tex-Vorschau einfügt :)
Edit Unknown: Latex korrigiert
