Konvergiert oder Divergiert an=\frac{1+2+·s+n}{n2}?

Question

Aufgabe:

Konvergiert oder divergiert die Folge $\left(a_{n}\right)$ mit
$a_{n}=\frac{1+2+\cdots+n}{n^{2}} ?$
Beweisen Sie Ihre Antwort und geben Sie im konvergenten Fall den Grenzwert an. Hinweis: Schreiben Sie $1+2+\cdots+n$ in geschlossener Form, indem Sie zu diesem Ausdruck den Ausdruck $n+(n-1)+\cdots+1$ addieren.

Was ist mit geschlossener Form gemeint und bitte mir am Beweis Anfang helfen. LG

Answer 1

1+2+3+...+ n ergibt als Summe (n²+1)/2

(n²+1)*0,5/n²= (0,5n²+0,5)/n²

nach Kürzen mit n² ergibt sich 0,5+ 1/n² = 0,5

Answer 2

Aloha :)

Schau dir bitte mal folgende Abbildung an:

Plotlux öffnen

f₁(x) = 1·(x>0)·(x<5)f₂(x) = 2·(x>0)·(x<4)f₃(x) = 3·(x>0)·(x<3)f₄(x) = 4·(x>0)·(x<2)f₅(x) = 5·(x>0)·(x<1)f₆(x) = 5·(x>0)·(x<5)f₇(x) = -x+5Zoom: x(0…7) y(0…5)

Die $5+4+3+2+1$ Quadrate überdecken die Hälfte der Fläche $5^2$ und dann schauen noch $5$ halbe Quadrate über die Diagonale drüber. Das kannst du verallgemeinern:$$1+2+3+\cdots+n=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}$$

Damit kannst du die Folge umschreiben:$$a_n=\frac{1+2+3+\cdots+n}{n^2}=\frac{1}{n^2}\cdot\left(\frac{n^2}{2}+\frac n2\right)=\frac12+\frac{1}{2n}\to\frac12$$