Beweisen durch vollständige Induktion. 3 ist stets ein Teiler von n^3 − n ; für alle n ∈ N.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass 3 stets ein Teiler von n3 − n ist – für alle n ∈ N. 

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kann mir jemand zeigen, wie das geht?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Vollständige Induktion Beweise, dass 6 Teiler ist von n^3 - n für alle natürlichen Zahlen n.

Stichworte: induktion,teiler,sechs,vollständige-induktion

Beweisen Sie unter Verwendung der vollständigen Induktion, dass

∀n ∈ N: 6 | n³− n

Answer 1

dass 3 stets ein Teiler von n³ − n

für 1 ist es wahr.

Sei es wahr für n, dann gilt

(n+1)³ - (n+1)

= n³ + 3n² + 3n + 1 - n - 1

= n³  - n  + 3n² + 3n

= ( n³  - n)   + 3( n² + n )

Der erste Summand ist durch 3 teilbar nach Ind. vor.

und der zweite, weil er den Faktor 3 enthält.

Answer 2

Hilssatz: ∀n ∈ N: 6 | 3(n+1)n

Beweis des Hs.: Entweder n+1 oder n ist gerade.

Vollst Ind.:

Vorauss.: ∀n ∈ N: 6 | n³− n. Den Hs addieren

6 | n³− n + 3(n+1)n umformen zu

6 | n³− n + 3n²+3n +1 - 1 und dann

6 | (n+1)³− (n +1)

Was zu zeigen war.