Funktionseigenschaften beweisen

Question

Seinen f: R->R und g: R->R und betrachte die Funktionen h_i: R->R, i=1,2,3 mit 

h₁(x)=(f+g)(x),      h₂(x)=(f*g)(x),     h₃(x)=g o f) (x).

Welche dieser Funktionen ist notwendigerweise injektiv/surjektiv/bijektiv....,

wenn sowohl f als auch g diese Eigenschaft haben? Beweisen sie ihre Antworten.

Nun ich verstehe im großen und ganzen was von mir verlangt wird, allerdings bin ich verwirrt , da ich keine Funktionsgleichungen gegeben habe. Was sind meine Gleichungen?  

Answer 1

" Was sind meine Gleichungen?  "

Du sollst ganz allgemein zeigen können, dass die betreffenden Eigenschaften an hi weitergegeben werden. Das sagt dir das Wörtchen notwendigerweise. Wenn du ein einziges Gegenbeispiel findest, kannst du den betreffenen Fall ausschliessen.

z.B. kannst du bei h_(1) alles ausschliessen mit dem Beispiel f(x) = x und g(x) = - x. Beide sind bijektiv, und damit automatisch surjektiv und injektiv.

Aber h_(1)(x) = x + (-x) = 0 ist nicht bijektiv. Da weder surjektiv (es sind nicht alle Elemente von R auch Funktionswerte. z.B. kommt h_(1)(x) = 1 nicht vor, da 1≠0) noch injektiv (Begründung: h_(1)(5) = h_(1)(6) = 0 aber 5≠6) .

Deine Aufgabe enthält nun viele Teilaufgaben (diese systematisch aufzählen ist deine erste Aufgabe), die du alle einzeln durchrechnest und zeigst oder widerlegst.