Supremumsnorm. Stetige Abbildung zeigen.

Question

wobei C1⊂ C0 den Vektorraum der stetig differenzierbaren, reellwertigen Funktionen beschreibt und 

Kann mir bitte jemand zeigen, dass das eine stetige Abbildung ist?

Und warum ist D nicht mehr stetig, wenn man auf C1 die Supremumsnorm betrachtet?

Answer 1

Verwende das Folgenkriterium für Stetigkeit. Dann ist zu zeigen, dass aus \(f_n\to f\) folgt: \(D(f_n)\to D(f)\). Dabei ist hier Normkonvergenz gemeint, d.h. aus \(\lVert f_n-f\rVert_*\to0\) ist \(\lVert f'_n-f'\rVert_\infty\to0\) zu erschliessen.