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Sei U der Raum der finiten Folgen, welcher mit der Supremumsnorm ||·|| ∞ versehen wird.

Betrachtet wird die Nullfolge z = (zk )k∈ℕ , zk = (-1)k (k-1)-2 . Sei weiterhin ε = 10-4 .

Angeben werden soll ein x∈U, sodass gilt ||x-z|| ∞ <ε.

Ich weiß leider gar nicht, was ich tun soll.


Vielen Dank im Voraus für Hilfe!

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Hallo,

"Ich weiß leider gar nicht, was ich tun soll."

Was meinst Du damit?

Schreib doch mal hierhin die Definition von \(\|x-z\|_{\infty}\).

Die beste Möglichkeit, das "klein" zu machen, wäre x=z zu wählen. Warum geht das nicht? Wie könnte man dann möglichst viel von dieser "Idee" retten?

Gruß

Wenn man x=z wählt, erhält man ||0|| ∞ = 0 < 10-4 .

Dies ist jedoch eine falsche Aussage.

Nur vile weiter bringt mich das nicht.

Was ist an der Aussage falsch? 0 ist doch echt kleiner als 0,0001?

Liegt z in U? Was ist denn überhaupt eine finite Folge?

U ist die Vereinigung von Ud .

Ud = {x=(xn ) n∈ℕ ∈ c: xn = 0 für alle n> d}, wobei d∈ℕ und c der Raum der konvergenten Folgen ist.

1 Antwort

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Beste Antwort

Mit den Tipps aus den Kommentaren ist doch schon viel erledigt.

Wenn du als finite Folge x eine nimmst, die bis zum n-ten Glied mit z

übereinstimmt und danach alles 0en hat, dann ist  x-z eine Folge, deren

n ersten Glieder 0en sind und danach kommen mit

umgekehrten Vorzeichen die Glieder von z.

Die Beträge dieser Folgenglieder sind sind monoton fallend, das

Supremum ist also 1/(n+1-1)^2 = 1/n^2.

Damit   1/n^2 < eps gilt, muss

              n > 1/√eps  sein, für den gegebenen Wert also n>10^2 = 100.

Wähle also z.B. die Folge x mit

                                  zk für k≤100
                     xk = 
                                   0 für k>100      

Avatar von 287 k 🚀

Ok, das ist mir verständlich.

Vielen Dank

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