Hallo Andrea,
ich habe gerade gesehen, dass du in deiner 4. Zeile rechts " ... -100) " statt " .. -10)" geschrieben hast. Damit habe ich dann leider auch gerechnet. (vgl. meinen Kommentar)
f(x,y) = x3 + 2·y2 + 2·x·y + x + y - 100
L(x,y,λ) = x3 + 2·y2 + 2·x·y + x + y - 100 + λ·(2·x + y - 100)
.....
für die Lösungen am Ende deiner Rechnung erhalte ich
x1 ≈ -15,550 y1 ≈ 131,100 ; λ1 ≈ - 494,299
und x2 ≈ 12,883 ; y2 ≈ 74,234 ; λ2 ≈ - 323,701
Bis auf die Rundung sind deine x-Werte also richtig
Man hat also die kritischen (stationären) Punkte
( -15.550 | 131.100 ) und ( 12,883 | 74,234 )
Jetzt betrachtet man die Hessematrix der Funktion L aus den zweiten partiellen Ableitungen:
\(\begin{pmatrix} L_{xx} &L_{xy}\\ L_{yx}&L_{yy}\end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 6x&2\\ 2&4\end{pmatrix}\) für jeden der kritschen Punkte.
( 12,883 | 74,234 ): \(\begin{pmatrix} 77,298&2\\ 2&4\end{pmatrix}\)
Hier sind sowohl das erste Matrixelement als auch die Determinante der Matrix (Hauptminoren) beide positiv. Die Matrix ist deshalb positiv definit und daher liegt ein Minimum vor (Andere Begründung: Die Matrix hat 2 positive Eigenwerte)
Der Funktionswert f ( 12,883 | 74,234 ) = 15059,417
( -15.550 | 131.100 ): \(\begin{pmatrix} - 93,3&2\\ 2&4\end{pmatrix}\)
Hier funktioniert das Kriterium mit den Hauptminoren nicht. Die Matrix hat aber einen positiven und einen negativen Eigenwert. Deshalb ist sie indefinit.
In diesem Fall kann man die Determinante der "geränderten Hessematrix" betrachten:
( Nx und Ny sind die partiellen Ableitungen der Nebenbedingung )
\(\begin{pmatrix} 0&N_x&N_y\\ N_x&L_{xx}&L_{xy}\\ N_y&L_{yx}&L_{yy}\end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 0&2&1\\ 2&-93,3&2\\ 1&2&4\end{pmatrix}\)
Deren Determinante = 8,53 ist positiv und daher liegt ein Maximum vor.
Der Funktionswert f (-15.550 | 131.100) = 26552,731
Gruß Wolfgang
