Lagrange, Extreme mit Nebenbedingung

Question

Aufgabe:

f(x,y) = x² + y² , g(x,y) = x³+y³-1

Hallo, ich soll von der Funktion f mit der Nebenbedingung g die Extrema mithilfe von Lagrange ermitteln. Erwünscht sind ausdrücklich auch die Werte für Lambda, also sollen Lambda vorher nicht eliminiert werden, die Determinantenmethode soll ebenfalls nicht verwendet werden.

Problem/Ansatz:

Jetzt meine Frage: wie kann ich g(x,y) gescheit nach einer Variable auflösen, sodass ich nichts hässliches da stehen habe, wenn ich nach x oder y auflöse? Muss ja die dritte Wurzel ziehen. Oder gibt es einen schöneren Weg? Des Weiteren: Was mache ich, wenn ich die Ableitungen der Lagrange-Funktion abgeleitet habe, und dann z.B. die erste Ableitung nach x, gleich 0 setze. Dann kriege ich nach Umstellen ein Wert für Lambda raus. Was mache ich mit diesem Wert?

Comments

Erwünscht sind ausdrücklich auch die Werte für Lambda, also sollen Lambda vorher nicht eliminiert werden, die Determinantenmethode soll ebenfalls nicht verwendet werden.

ich lese das immer wieder, aber bis zum heutigen Tag kann mir niemand sagen, welche Sinnhaftigkeit hinter dieser Anforderung steckt.

Kannst Du mir sagen, warum diese Werte für \(\lambda\) so interessant sein sollen?

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Mir geht es genauso wie Werner Salomon.
Ich hätte auch gern gewusst, wozu die Kenntnis
von \(\lambda\) nützlich ist, es sei denn
es geht um ein hinreichendes Kriterium für
das Vorliegen eines Maximums/Minimums.

Hier spielt die (Hesse-Matrix - \(\lambda \cdot \) Hesse-Matrix der

Nebenbedingung) die Rolle der 2. Ableitung im 1-dimensionalen Fall.

Um die Definitheit der Matrix auf dem Tangentialraum der von der

Nebenbedingung erzeugten Mannigfaltigkeit zu bestimmen,

benötigt man \(\lambda\).

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Leider weiß ich es nicht. Ich habe letztens meinen Prof was zur Determinantenmethode gefragt, ob man damit wirklich alle kritischen Punkte bekommt. Daraufhin sagte er, dass wir es so machen sollen, wie wir es gelernt haben, und wie es in der Vorlesung gezeigt wurde, und die Determinantenmethode ja nicht gezeigt wurde.

Wir haben aber z.B. auch nicht gelernt ,wie man das Lambda eliminiert. Wir haben nur die Version mit Lambda und somit quasi als Fallunterscheidung gelernt.

Schade, denn die Determinantenmethode finde ich einfacher und das geht ratz fatz damit.

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ich soll von der Funktion f mit der Nebenbedingung g

Die Nebenbedingung fehlt.

ich hätte auch gern gewusst, wozu die Kenntnis von \(\lambda\) nützlich ist

Das Lambda wird manchmal verlangt, damit man sieht, ob die Lagrange-Methode verwendet worden ist...

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Entschuldigung. Natürlich die Funktion g = 0 stellen.

Naja, die Determinantenmethode ist doch auch Lagrange. Und wenn man Lambda eliminiert, ist es doch auch Lagrange, da war doch dann Lambda noch vorher da.

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Daraufhin sagte er, dass wir es so machen sollen, wie wir es gelernt haben, und wie es in der Vorlesung gezeigt wurde, und die Determinantenmethode ja nicht gezeigt wurde.

Das ist das erbarmungswürdige Argument eines Rezept-Predigers ....

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Habe meinen oberen Kommentar ergänzt.

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Der sagt auch, dass man nicht immer bei Extrema mit NB implizites Differenzieren bzw. Lagrange braucht (Lagrange beruht doch auf dem Satz der impliziten Differenzierbarkeit, oder?). Sondern, je nachdem, wenn man die NB einfach nach einer Variable umstellen kann, man sie auch so nutzen kann, und dann eben in f einsetzen kann und normal die Extrema bestimmen kann.

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Da hast du Recht. Aber ein Dozent möchte natürlich auch
die Methode mit den Lagrange-Multiplikatoren vermitteln,
was ja sicher vernünftig ist. Je mehr Methoden, desto besser.

Lagrange selber wird ganz sicherlich in jedem einzelnen Fall
die für ihn effizienteste Methode verwendet haben.

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Sondern, je nachdem, wenn man die NB einfach nach einer Variable umstellen kann, man sie auch so nutzen kann, und dann eben in f einsetzen kann und normal die Extrema bestimmen kann.

Ja natürlich - so wird es i.A. in der Schule gelehrt. Aber zum einen kann es sein, dass sich die Funktionen gar nicht - oder nur schwer - so umstellen lassen und zum anderen liefert der Lagrange meiner Meinung nach noch mehr Informationen über die Verhältnisse des Variablen untereinander, bei denen ein Optimum vorliegt.

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... und die Determinantenmethode ja nicht gezeigt wurde.

Na und!? die sogenannte 'Determinantenmethode' ist doch nichts anderes als das Eliminieren einer Unbekannten aus einem Gleichungssystem.

nach Ableiten der Lagrange-Funktion mit 2 Variablen erhält man immer ein Gleichungssystem vom Typ$$a + \lambda b = 0 \\ c + \lambda d = 0$$und nun multipliziere man oben mit \(d\) und unten mit \(b\)$$ad + \lambda bd = 0 \\ cb + \lambda bd = 0$$und dann beide Gleichungen subtrahieren$$ad - cb = 0$$mehr ist es doch nicht.

Eine Aussage wie 'das wurde nicht gezeigt'  und deshalb bitte nicht benutzen, und das womöglich an einer Hochschule ... das ist doch ein Armutszeugnis!

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das ist doch ein Armutszeugnis!

Das sehe ich auch so !

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An einer staatlichen Universität!

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Vor allem, weil man mit der Determinantenmethode in der Klausur wirklich viel Zeit sparen würde.

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Eine Aussage wie 'das wurde nicht gezeigt'  und deshalb bitte nicht benutzen, und das womöglich an einer Hochschule ... das ist doch ein Armutszeugnis!

Finde ich nicht. Die Aussage muss in die Richtung"bitte nicht in der Klausur" benutzen interpretiert werden.

Die Studierenden können danach ja machen was sie wollen.

Aber eine Prüfung muss irgendwo vergleichbar sein und unter Chancengleichheit stattfinden. Deshalb möchte man natürlich nicht, dass eine gewisse Gruppe von guten Studierenden auf fortgeschrittene Aussagen/Methoden zurückgreift, die das Lösen von bestimmten Aufgaben erheblich vereinfacht und diese somit den konzipierten Arbeitsaufwand nicht erbringen müssen, was diesen Studierenden einen Zeitvorteil ggü anderen gibt.

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... von guten Studierenden auf fortgeschrittene Aussagen/Methoden zurückgreift,

das wäre ok, wenn es sich um eine "fortgeschrittene Aussage/Methode" handelt. Wir diskutieren hier aber über das Subtraktionsverfahren beim Eliminieren von Unbekannten in Gleichungssystemen. Das ist Mittelstufenstoff!

Das einzige was daran 'fortgeschritten' ist, ist die Benennung 'Determinantenverfahren'. Bevor Tschaka das hier im Forum nicht erwähnt hat, hatte ich das in diesem Zusammenhang auch noch nie gehört. Aber ich mache es schon immer so.

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Mit "fortgeschritten" meine ich "über den in der VL behandelten Stoff hinaus". Das heißt nicht unbedingt dass das Verfahren schwieriger ist oÄ.

Dürfen die Studierenden wirklich nicht das Subtraktionsverfahren anwenden? Oder will man möglicherweise nur verhindern, dass diese direkt ohne Vortext irgendeine Determinante hinklatschen, die dann vielleicht falsch ist und somit nichtmal Teilpunkte gegeben werden können? Was machst du im Fall b=0 oder d=0? Dann scheitert deine Überlegung erst einmal, weil es keine Elementaren Zeilenumformungen mehr sind. Also sind für den Beweis noch Sonderfälle zu betrachten.

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Was machst du im Fall b=0 oder d=0? Dann scheitert deine Überlegung erst einmal, weil es keine Elementaren Zeilenumformungen mehr sind. Also sind für den Beweis noch Sonderfälle zu betrachten.

Ja natürlich. Aber das spricht doch nicht gegen das Subtraktionsverfahren. Nehmen wir mal den Fall$$b=0 \lor d=0 \quad \forall x,y,\dots$$das wäre ein Trivialfall, wie er z.B. bei diesem Problem auftritt$$\text{HB.:}\space x^2+y^2 \to \operatorname{opt}\quad \text{NB.:}\space x-1=0\\\begin{aligned} \implies L_x &= 2x + \lambda = 0 \\ L_y &= 2y + 0 \lambda =0 \end{aligned}$$Dann muss man eigentlich nicht mehr viel lösen; und selbst wenn man stumpsinnig immer die selbe Methode anwendet ... $$\implies 2x \cdot 0 = 2y \cdot 1$$... kommt trotzdem das richtige raus.

Der komplizierte Fall (der hier auch vorkommt), besteht darin, dass \(b,\,d = f(x,y)\) auch \(=0\) sein können. Dann gelten die 'üblichen' Regeln beim Lösen von Gleichungen. Man darf eine Gleichung eben nur dann z.B. durch \(x\) oder einen Term dividieren (oder mit ihm multiplizieren), wenn man den Fall betrachtet, dass \(x\) bzw. der Term auch \(0\) sein kann.

Aber auch das ist an einer Hochschule keine 'fortgeschrittene' Methode, sondern sollte Grundwissen sein.

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Mir musst du das nicht erklären. Ich weiß wieso und weshalb das funktioniert wie es funktioniert.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass es dem Professor nicht darum geht den Studis das Lösen des GS mit elementaren Umformungen zu verbieten. Er möchte vermutlich eher, dass die Studis das GS richtig aufstellen und dadurch beweisen, dass sie

a) die Lagrange-Methode verstanden haben und anwenden können

b) in der Lage sind das entsprechende Gleichungssystem zu lösen.

Wenn ein Studi begründet warum in einem speziellen Fall die Det = 0 Gleichung mit dem Subtraktionsverfahren folgt, bin ich mir ziemlich sicher, dass es dann dafür keinen Abzug oÄ gibt. Irgendwo müssen sie ja vorher gelernt haben, wie man GS löst und da ist das eben so unterstes Niveau.

Aber nicht einfach nur ne Determinante hinklatschen, =0 setzen und dann fröhlich weiter rechnen.

Und diese Diskussion über "Grundwissen", "Schulwissen" ist auch unnötig. Wir haben

1. Ein föderales Bildungssystem mit unterschiedlichen Lerninhalten

(In diesem konkreten Fall mag das überall gelehrt werden, dann rennt man aber schnell in eine komplett unübersichtlich "darf man nutzen" - "darf man nicht nutzen" Situation)

1.1. Dazu noch internationale Studierende...

2. Dürfen die Universitäten/Professoren in gewissen Rahmen selbst entscheiden welche Module/Dinge sie als Vorwissen für die Module voraussetzen.

Das System "nehmt nur das was in der VL behandelt wurde" ist erschreckend einfach, übersichtlich und gerecht. Ich würde allerdings sagen, dass wir diese Diskussion bei Bedarf im Chat fortsetzen können.

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Zur Grundsatzfrage von MatHaematician ein Kommentar meines früheren Mathematiklehrers am Gymnasium - gesprochen zu einem Mitschüler, der sich beklagte, dass ich eine Aufgabe mit Wissen ohne Denken gelöst hatte: "Ich kann doch dem Peter nicht verbieten, sich mit Mathematik zu beschäftigen!"

Answer 1

Aloha :)

$$L(x;y;\lambda)=x^2+y^2-\lambda(x^3+y^3-1)$$$$0\stackrel!=\frac{\partial L}{\partial x}=2x-3\lambda x^2\implies3\lambda x^2=2x$$$$0\stackrel!=\frac{\partial L}{\partial y}=2y-3\lambda y^2\implies 3\lambda y^2=2y$$$$0\stackrel!=\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^3+y^3-1\implies x^3+y^3=1$$

Wir unterscheiden nun 3 Fälle:

1. Fall \(x=0\)

Wegen \((x^3+y^3=1)\) ist \(y=1\). Wegen \((3\lambda y^2=2y)\) ist dann \(\lambda=\frac23\)

2. Fall \(x=1\)

Wegen \(x^3+y^3=1\) ist \(y=0\). Wegen \((3\lambda x^2=2x)\) ist weiter \(\lambda=\frac23\)

3. Fall \(0<x<1\)

Wegen \((x^3+y^3=1)\) ist auch \(y\ne0\). Weiter gilt:$$\frac{3\lambda y^2}{3\lambda x^2}=\frac{2y}{2x}\implies\frac{y^2}{x^2}=\frac{y}{x}\implies xy^2=x^2y\implies xy\cdot y=x\cdot xy\implies y=x$$$$1=x^3+y^3\stackrel{(y=x)}=x^3+x^3=2x^3\implies x^3=\frac12\implies x=\frac{1}{\sqrt[3]2}\stackrel{(y=x)}{\implies} y=\frac{1}{\sqrt[3]2}$$$$3\lambda x^3=2x^2\implies \lambda=\frac{2}{3x}=\frac{2}{3\cdot2^{\frac13}}=\frac13\,2^{\frac23}=\frac13\sqrt[3]{4}$$

Wir haben also drei kritsiche Stellen \((x;y;\lambda)\) gefunden:$$P_1\left(0;1;\frac23\right)\quad;\quad P_2\left(1;0;\frac23\right)\quad;\quad P_3\left(\frac{1}{\sqrt[3]2};\frac{1}{\sqrt[3]2};\frac{\sqrt[3]{4}}{3}\right)$$

Comments

Hier ist der Graph von \(g=0\) (rot) und die Höhenlinien von \(f\) (blau) zu sehen.

Den Punkt \(X\) kann man mit der Maus verschieben. Die beiden Strecken ausgehend von \(X\) zeigen Richtung und Betrag der Steigung der jeweiligen Funktion an. Fallen die Richtungen der Steigungen zusammen, so liegen dort die kritischen Stellen.

Das ist auf den Koordinatenachsen und auf der Winkelhalbierenden \(y=x\) der Fall. Hier ist dann \(\lambda\) das Verhältnis der beiden Streckenlängen.

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Auf welcher Regel beruht denn die Tatsache, dass du jeweils bei den Ableitungen der Lagrange-Fkt, nach x und y, du den Exponenten einfach von 2 auf 3 erhöht hast? Und wie komme ich z.B. in der Klausur daraufß Kann ich das immer machen, den Exponenten an den der NB anzupassen?

Kann ich nicht einfach nach Schema X des Lagrange-Verfahrens gehen, ohne diese Tricks wissen zu müssen?

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dass du jeweils bei den Ableitungen der Lagrange-Fkt, nach x und y, du den Exponenten einfach von 2 auf 3 erhöht hast?

War das guter Stoff, den du geraucht hast?

Aus -λ(x^3...) wurde beim Ableiten -3λx^2 ...

Der Exponent ist also von 3 auf 2 abgesunken.

Fertig mit Ableiten.

Danach hat er -warum auch immer, es ist unnötig - beide Seiten mit x multipliziert.

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Ich hatte zuerst eine andere Lösungsidee, deswegen hatte ich bei der Ableitung beide Seiten mit \(x\) und \(y\) multipliziert. Habe nicht daran gedacht, dass das vielleicht verwirren könnte. Für den gezeigten Lösungsweg brauchst du diese Erweiterung nicht zu machen...

Ich ändere meine Antwort mal so ab, dass sie ihne diesen "Trick" auskommt... Das kann etwas dauern.

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@abakus... hahahhaa

Ja genau, das mit dem mit x multiplizieren, hat mich verwirrt.

Dankeschön!

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So abgeändert...

Meine erste Idee war folgende Rechnung:$$3\lambda x^2=2x\implies3\lambda x^3=2x^2$$$$3\lambda y^2=2y\implies3\lambda y^3=2y^2$$

Und nun beide Gleichungen addieren:$$3\lambda x^3+3\lambda y^3=2x^2+2y^2\implies$$$$3\lambda\underbrace{(x^3+y^3)}_{=1}=2(x^2+y^2)\implies$$$$\lambda=\frac23(x^2+y^2)$$

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Leute, sagt mal, ich habe gerade die Determinantenmethode probiert. Dabei kriege ich aber nur P3 raus!

Kann das sein, dass man mit der Determinantenmethode nicht alle Punkte kriegt?

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Zur Determinanten-Methode:

Die Lagrange-Bedingung fordert:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}f(x;y)\implies$$$$\binom{2x}{2y}=\lambda\cdot\binom{3x^2}{3y^2}$$

Die beiden Gradienten müssen also kollinear sein, d.h. sie dürfen keine Fläche aufspannen. Die Determinante von zwei 2-dim. Vektoren gibt die von ihnen aufgespannte Fläche an. Daher muss gelten:$$0\stackrel!=\begin{vmatrix}2x & 3x^2\\2y & 3y^2\end{vmatrix}=6xy\begin{vmatrix}1 & x\\1 & y\end{vmatrix}=6xy(y-x)$$

Das liefert 3 Lösungen:$$x=0\quad\text{oder}\quad y=0\quad\text{oder}\quad y=x$$

Wenn du diese 3 Lösungen in die Nebenbedingung \((x^3+y^3=1)\) einsetzt, bekommst du alle 3 Lösungen von oben:$$x=0\implies y^3=1-x^3=1\implies y=1$$$$y=0\implies x^3=1-y^3=1\implies x=1$$$$y=x\implies x^3+x^3=1\implies x^3=\frac12\implies x=\frac{1}{\sqrt[3]2}=y$$

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Aber wie komme ich, nachdem ich die Gradienten von f und g gebildet habe, auch auf diese Punkte, OHNE die Determinante auszurechnen und zu nutzen? Also mit ganz normalem Lagrange?

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Ich finde das ohne die Determinantenmethode so extrem schwer. Gibt es was, was ich mir merken kann, damit mir das mit der normalen Lambda-Version einfacher fällt?

Und in welche Fkt. muss ich jeweils die Punkte einsetzen, um die dritte Variable des Punktes zu erhalten?

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Ich finde das ohne die Determinantenmethode so extrem schwer.

Vergiss doch einfach das Wort 'Determinantenmethode'!

Nach dem Ableiten der Lagrange-Funktion liegen drei Gleichungen vor:$$2x-3\lambda x^2=0 \\ 2y-3\lambda y^2=0\\ x^{3}+y^{3}-1 = 0$$mit den drei Unbekannten \(x\), \(y\) und \(\lambda\). Und da \(\lambda\) nur in zwei der drei Gleichung vorkommt und ohne eine Potenz \(\ne 1\) vorkommt, so ist es völlig in Ordnung, das \(\lambda\) zuerst zu eliminieren.

Und ob Du das als 'Determinantenmethode', Einsetzverfahren, Subtraktionsverfahren oder Pumuckeltrick bezeichnest ist völlig egal.

Einsetzverfahren: \(\lambda\) in der ersten Gleichung isolieren und in die zweite Einsetzen. Anschließend wieder mit \(3x^2\) multiplizieren, da vorher dadurch geteilt wurde!$$2x-3\lambda x^2=0 \implies \lambda = \frac{2x}{3x^2}\\2y-3\lambda y^2=0 \implies 2y-3\cdot \frac{2x}{3x^2}\cdot y^2=0 \\ 6x^2y - 6xy^2 = 0 \implies xy(y-x) = 0$$und da steht natürlich(!) nichts anderes als wenn man die "verbotenen" Determinantenmethode anwendet. Und aus der letzten Gleichung folgen unmittelbar die drei Lösungen \(x=0\) oder \(y=0\) oder \(x=y\).

Und auf dem Weg dorthin bloß nicht kürzen oder durch \(x\) oder \(y\) dividieren; das könnte ja \(=0\) sein!

Ansonsten geht das aber auch genauso wie Tschakabumba das schon vorgerechnet hat.

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Dankeschön!!!!!

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Mein Prof hat heute die Lagrange-Methode so beschrieben:

Lagrange Funktion aufstellen, Gradienten bilden, Nullstellen des Gradienten bestimmen.

Und dann mit dem Satz von Weierstraß argumentieren, warum es sich um ein Maximum bzw. Minimum handelt.

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Also wie ich jetzt mit dem Satz von Weierstraß argumentieren soll, ob es Maximum oder Minimum ist, weiß ich jetzt nicht...Weiß das jemand?

Und wie komme ich jeweils auf die dritte Komponente der Punkte von @Tschakabumba?

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Für eine andere Aufgabe kriege ich das nach dem Rezept irgendwie so nicht hin:

f(x,y) = 3x²y, g(x,y) = 4x² + 9y² - 36 = 0

L(x,y, Lambda) = 3x2y + Lambda * (4x² + 9y²-36)

Lx = 6xy + 8xLambda

Ly = 3x² + 18yLambda

Llambda = 4x² + 9y² -36

Lx = 0 <=> 6xy + 8xLamdbda = 0 <=> 8xLambda = -6xy | : 8x

<=> Lambda = -(6xy)/(8x)

Das in die Ableitung nach y:

3x² + 18y * -(6xy)/(8x) = 0 < | * 8x

...

= 4x(6x^2 - 19y^2) = 0

Ok, 1 Fall: x = 0. Und für in die Klammer? Wie soll ich das denn ausrechnen...

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Llambda = 4x² + 9y² -36

hier ist was vom Himmel gefallen, was da nicht hin gehört.

Der Rechenweg ist:$$f(x,y) = 3x^{2}y, \quad \text{NB.:}\space g(x,y) = 4x^{2} + 9y^{2} - 36 = 0 \\ L(x,y,\lambda) = 3x^{2}y - \lambda(4x^{2} + 9y^{2} - 36) \\ L_x = 6xy - 8\lambda x\to 0 \\ L_y = 3x^2 - 18\lambda y \to 0 \\ \begin{aligned} \implies 108xy^2 &= 24x^3 &&|\,\div 12\\ 9xy^2 &= 2x^3 &&|\, x=0,\quad \div x\\ 9y^2 &=2x^2 &&|\, \to \text{NB}\\ \implies 4x^{2} + 2x^2 - 36 &= 0 &&|\, +36,\space \div 6, \space \sqrt{}\\ x &= \pm \sqrt 6  \end{aligned}$$Bei \(x=0\) wird zusammen mit der NB \(y=\pm2\)

und aus \(x=\pm \sqrt 6\) folgt \( y=\pm \frac{2}{3}\sqrt 3\). Diese Kombination gibt vier Punkte, die ich unten im Graph grün markiert habe.

Wenn Du nun jeweils das \(\lambda\) berechnest, so kommt bei \(x=0\) auch \(\lambda=0\) heraus. Und damit ist dies kein gültiges Ergebnis. (stimmt so nicht! Diese Punkte sind zu prüfen! siehe Kommentar unten)

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Also wie ich jetzt mit dem Satz von Weierstraß argumentieren soll, ob es Maximum oder Minimum ist, weiß ich jetzt nicht...Weiß das jemand?

Ich vermute, es ist einfacher als Du denkst. Berechne einfach die Funktionswerte \(f(x,y)=3x^2y\) an den kritischen Punkten. Da wo die Werte größer sind als woanders liegt ein Maximum und bei den kleineren Werten ein Minimum vor.

Fahre den schwarzen Punkt oben im Bild mit der Maus über den Graphen. Dir wird der jeweilige Funktionswert angezeigt.

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Danke dir. Wie kommst du denn auf die erste Zeile mit 108xy^2 ???

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Danke dir. Wie kommst du denn auf die erste Zeile mit 108xy2 ???

Du bist lustig ;-) ich habe die erste Gleichung mit \(18y\) multipliziert und die zweite mit \(8x\) und dann beide Gleichungen von einander abgezogen. Man könnte das Subtraktionsverfahren nennen oder mit einem anderen Wort, was mit 'D' anfängt.

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:D:D:D

Danke dir! Ich mache gleich mal eine Übersicht, einmal mit Determinantenmethode und einmal mit Subtraktionsverfahren, und schaue, wie beide sich unterscheiden, vom aufbau her, und wo sie sich ähneln.

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... und schaue, wie beide sich unterscheiden

gar nicht! ;-)

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noch eine Bemerkung zu dieser Aussage von mir (s.o.)

Wenn Du nun jeweils das \(\lambda\) berechnest, so kommt bei \(x=0\) auch \(\lambda=0\) heraus. Und damit ist dies kein gültiges Ergebnis.

das stimmt so wohl nicht. Es gibt tatsächlich noch zwei weitere kritische Punkte. Ein Minimum bei \((0,2)\) und ein Maximum bei \((0,-2)\).

Über den Wert von \(\lambda\) muss ich noch mal nachdenken.

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Die Aufgabe ist dann wohl doch nicht so leicht. Also bedeutet das, dass mit Lagrange doch nicht wirklich alle Aufgaben so super leicht nach Schema X zu lösen ist, und man schon ein paar Rechentricks und Erfahrung braucht.

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Also bedeutet das, dass mit Lagrange doch nicht wirklich alle Aufgaben so super leicht nach Schema X zu lösen ist,

es bedeutet zunächst einmal, dass man sich erstens nicht so um den Wert von \(\lambda\) scheren sollte, auch nicht, wenn \(\lambda=0\) ist und sich zweitens alle Punkte, die das Lagrange-Verfahren liefert (und es hat ja geliefert!) eben nochmal genau ansehen muss.

Das Lagrange-Verfahren spuckt auch Sattelpunkte aus, und das sind keine Optima.

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... so super leicht nach Schema X zu lösen ist,

'nach Schema X' ist immer gefährlich, weil man was übersehen kann. Von Vorteil ist es immer, einen 'zweiten Weg' zu kennen. Beim Berechnen von Flächen oder Volumen durch integrale kann man Ergebnis vorher schätzen. Wenn dann die Rechnung völlig daneben liegt, dann stimmt was nicht.

Bei diesen Optimierungsaufgaben (bis 2D) hilft die Graphik, die ich oft dazu erstelle (s.o.). Man kann die Optima meistens direckt aus der Graphik ablesen. So bin ich auch auf die zwei fehlenden Punkte gekommen.

Eine Rechnung nach Schema ohne Verständnis des Zusammenhangs ist eigentlich völlig sinnlos. Diese Arbeit ließe sich leicht durch ein Computer-Programm ersetzen!

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Deswegen verlangt mein Prof immer von mir, zu verstehen, was ich da überhaupt rechne, anstatt einfach nach Schema X zu rechnen!

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Wenn \(\lambda=0\) ist, bedeutet dies, dass die konstante Rahmenbedingung gar nicht in das Ergebnis eingeht. Die gefundenen Extrema sind dann dieselben, die sich ohne Rahmenbedingung ergeben hätten.

Man kann sich den Wert von \(\lambda\) als ein Maß für die Auswirkung der konstanten Rahmenbedingung vorstellen. Je stärker \(\lambda\) von \(0\) abweicht, desto stärker schränkt die Rahmenbediung ein.

In der Physik wird der Lagrange-Formalismus sehr viel verwendet, wenn irgendwelche Zwangsbediungen eine Bewegung einschränken, z.B. ein Looping bei einer Achterbahn, der die Gondeln auf eine Kreisbahn zwingt. Die Lagrange-Multiplikatoren sind dann ein Maß für die Stärke der Zwangskräfte, die die Gondeln auf die Kreisbahn zwingen.

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Sorry für die blöde Frage, aber wie kommst du denn auf

9xy^2 = 2x^3

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Die Zeile darüber wurde durch 12 geteilt!

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Stimmt, danke!

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Ich habe jetzt Lambda eliminiert, und dann das hier raus:

12x(9y^2 - 12x^2)

1. Fall: x = 0 in NB, dann x = + oder - 2

P1 (0,2); P2(0, -2).

9y^2  - 12x^2 = 0 <=> 9y^2 = 12x^2

Da in der NB genau 9y^2 vorkommt, kann ich das so einsetzen. Dann erhalte ich für x + oder - 3/2. Aber wie ist jetzt der dazugehörige y-Wert? Ich kann ja quasi gar nicht diese Gleichung 9y^2  - 12x^2 = 0  nur nach 1y umstellen, sodass ich den y-Wert habe, oder? Oder darf ich das, und dann habe ich y^2 = 12/9 x^2, und setze dann da die 3/2 für x ein?

Wenn ja, dann kriege ich für y = + oder - wurzel3 raus, also P3 (3/2, sqrt(3)), P4(3/2, -sqrt(3))

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Ich habe jetzt Lambda eliminiert, und dann das hier raus:

12x(9y2 - 12x2)

So viele Leute haben sich hier für dich schon mit vielen Beiträgen engagiert - und zum Dank lieferst du wieder eine Schlamperei ab!

Du hast sicher nicht nur eine Term raus, sondern eine zugehörige Gleichung???

Und aus welcher der vielen hier schon geposteten Gleichungen hast du das gefolgert?

Der erste Teil sieht ja immerhin nach den 108xy² aus, deren Entstehung du schon mal nachgefragt hast.

Da wo du in der Klammer eine 12 stehen hast, müsste wohl was anderes stehen.

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Lx = 6xy + 8xλ (I)

Ly = 3x^2 + 18yλ (II)

Lλ = 4x^2 + 9y^2 - 36

I * 18y - II * 8x

<=>

144y^2x - 24x^2 = 0

<=> 144y^2x ? 24x^2

12x(9y^2 - 2x)

1. Fall: x = 0 in NB

y = + oder - 2

P1(0,2), P2(0,-2)

9y^2-2x = 0  <=>

9y^2 = 2x <=>

y^2 = 2x/9

y = + oder - (sqrt(2x)/3

Ab hier weiß ich nicht weiter.

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Dann zieh dir noch mal diesen Beitrag von Werner rein und vergleiche mit deiner Lösung.

\(f(x,y) = 3x^{2}y, \quad \text{NB.:}\space g(x,y) = 4x^{2} + 9y^{2} - 36 = 0 \\ L(x,y,\lambda) = 3x^{2}y - \lambda(4x^{2} + 9y^{2} - 36) \\ L_x = 6xy - 8\lambda x\to 0 \\ L_y = 3x^2 - 18\lambda y \to 0 \\ \begin{aligned} \implies 108xy^2 &= 24x^3 &&|\,\div 12\\ 9xy^2 &= 2x^3 &&|\, x=0,\quad \div x\\ 9y^2 &=2x^2 &&|\, \to \text{NB}\\ \implies 4x^{2} + 2x^2 - 36 &= 0 &&|\, +36,\space \div 6, \space \sqrt{}\\ x &= \pm \sqrt 6  \end{aligned}\)

Diesmal hast du in der Klammer den Exponenten 2 verschlampt.

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Das darf doch nicht wahr sein.

Ok, ich hab jetzt auch x = + oder - sqrt(6) raus. Wie komme ich jetzt aber hier auf den richtigen y-Wert?

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Ich komme einfach nicht auf deinen Y-Wert für x = + oder - sqrt(6), sondern auf y1 =2/sqrt(3) , y2 = - 2/sqrt(3)

laut geogebra ist es dann der selbe Punkt, den du raus hast. Aber wie man da umstellen kann, weiß ich auch nicht.

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Ah, ich habs. mit 1, bzw. sqrt(3)/sqrt(3) multiplizieren.

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Darf ich mal noch was fragen:

In diesem Falle ist P3 hieraus entstanden: y = x in die NB: x^3 + x^3 -1 = 0 <=> 2x^3 = 1 <=> x^3 = 1/2, und dann die dritte wurzel von x = 1/\( \sqrt[3]{x} \). Diesen x-Wert nun in die Gleichung y = x und wir haben auch den selben y-Wert und somit P3(1/\( \sqrt[3]{2} \),1/\( \sqrt[3]{2} \)).

Wenn jetzt aber stattdessen so wäre:

x^2 = 1/2, dann würden für x zwei Werte rauskommen. x1 = - 1/sqrt(2), und x2 = + 1/sqrt(2).

Wieso ist das so? Bei der zweiten Wurzel von x kommen + und - raus, bei der dritten Wurzel aber nur der positive.

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Wieso ist das so? Bei der zweiten Wurzel von x kommen + und - raus, bei der dritten Wurzel aber nur der positive.

Ganz einfach.

Eine positive Zahl hoch 2 gibt eine positive Zahl, eine negative Zahl hoch 2 gibt aber auch eine positive Zahl.

Eine positive Zahl hoch 3 gibt eine positive Zahl, eine negative Zahl hoch 3 gibt jetzt aber eine negative Zahl.

y = x^3 ist also eine eindeutig umkehrbare Abbildung.

y = x^2 ist aber nicht eindeutig umkehrbar.

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DANKESCHÖN!

Das heißt, wenn es separat eine andere Aufgabe gäbe, bei der man berechnen soll, bei welchen Punkten die Funktion f lokal invertierbar wäre, die Funktion aber sowas wie (a+b)^2 wäre, dan könne man argumentieren, dass sie nicht eindeutig umkehrbar wäre, und es somit keine Lösung gäbe? Bei (a+b)^3 aber schon, indem man die Jacobi matrix bildet, davon die Determinante berechnet, und bei allen Punkten != 0 die Funktion lokal invertierbar wäre. ?

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Genau. ..........................

Answer 2

Lernen ist wichtig

g(x, y) = x^3 + y^3 - 1

ist keine Bedingung, sondern eine einfache Funktionsdefinition. Eine Bedingung wäre es, wenn g(x, y) = 0 sein soll.

Ich komme dabei auf folgende kritische Stellen:

(x = 2^(2/3)/2 ∧ y = 2^(2/3)/2 ∧ k = 2·2^(1/3)/3)
∨ (x = 1 ∧ y = 0 ∧ k = 2/3)
∨ (x = 0 ∧ y = 1 ∧ k = 2/3)