Schnittgerade zweier ebenen

Question

Berechnen Sie die Schnittgerade zwischen den beiden Ebenen 

E1:(3;2;0)*((x;y;z)-(1;-1;-2)=0 und E2: r( λ ; μ)= (-2,-1,5)+λ *(-2;1;2)+μ*(3;0;-1)

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.

Answer 1

E1: (X - [1, -1, -2])·[3, 2, 0] = 0

E2: X = [-2, -1, 5] + r·[-2, 1, 2] + s·[3, 0, -1]

Ich wandle E1 in die Koordinatenform um.

E1: 3·x + 2·y = 1

Ich setzte x und y aus E2 in E1 ein und löse nach r oder s auf.

3·(- 2 - 2·r + 3·s) + 2·(- 1 + r) = 1

r = 9/4·s - 9/4

Das Ergebnis setze ich für r in die Ebene E2 ein.

X = [-2, -1, 5] + (9/4·s - 9/4)·[-2, 1, 2] + s·[3, 0, -1]

X = [-2, -1, 5] + [4.5, - 2.25, - 4.5] + s·[- 4.5, 2.25, 4.5] + s·[3, 0, -1]

X = [2.5, -3.25, 0.5] + s·[-1.5, 2.25, 3.5]

Comments

Alternativ beide Ebenen in die Koordinatenform umwandeln

E1: 3·x + 2·y = 1

n = [-2, 1, 2] ⨯ [3, 0, -1] = [-1, 4, -3] = - [1, -4, 3]

E2: X·[1, -4, 3] = [-2, -1, 5]·[1, -4, 3]

E2: x - 4·y + 3·z = 17

Einen Punkt der Schnittgeraden bekommt man über das unterbestimmte Gleichungssystem aus E1 und E2.

3·x + 2·y = 1

x - 4·y + 3·z = 17

Als schöne Lösung erhalten wir

x = 1 ; y = -1 ; z = 4 --> [1, -1, 4]

Die Schnittgerade liegt senkrecht zu beiden Ebenen.

n = [3, 2, 0] ⨯ [1, -4, 3] = [6, -9, -14]

Damit lautet die Schnittgerade

X = [1, -1, 4] + s·[6, -9, -14]