Würfel-Volumen V in Abhängigkeit vom Oberflächeninhalt O

Question

Ich bitte um hilfe :(

Geben Sie für einen Würfel das Volumen V in Abhängigkeit vom Oberflächeninhalt O an und auch umgekehrt O in Abhängigkeit von V.

Answer 1

O = 6a^2

V = a^3    ------> a = ³√V         Dritte Wurzel aus V.

oben einsetzen

O = 6 *(³√V )^2 = 6* ³√(V^2)          Dritte Wurzel aus V^2.

O = 6* ³√(V^2)  |:6

O/6 =  ³√(V^2)        |^3

(O/6)^3 = V^2          |√

√(O/6)^3 = V

Grundlegendes zum Umgang mit Wurzeln und gebrochenen Exponenten (Video und Formelsammlung) vgl. auch hier:

https://www.matheretter.de/wiki/wurzel

Eine Extremwertaufgabe ist das übrigens nicht.

Answer 2

die Oberfläche eines Würfels ist O(a) = 6*a^2. Das Volumen ist V(a) = a^3.

Um a zu eliminieren, müssen beiden Darstellungen nach a umgestellt und dann gleichgesetzt werden:

a = (O/6)^{1/2}

a = V^{1/3}

(O/6)^{1/2} = V^{1/3}.

Daraus folgt nach weiterem Umstellen:

O = 6*V^{2/3} und

V = (O/6)^{3/2}.

Dies sind die beiden gesuchten Funktionen (Abhängigkeiten) O = O(V) und V = V(O).

MfG

Mister

Comments

Aber warum 1/2 bei (O/6) ?

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Hoch 1/2 bedeutet das gleiche wie Wurzel. Hoch 1/3 bedeutet entsprechend dritte Wurzel. Hoch 1/4 vierte Wurzel, usw....

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Verstehe ich leider nicht..

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Wenn ich O = 6a^2 nach a umstellen will, muss ich zuerst durch 6 teilen und dann die Wurzel ziehen:

(O/6) = a^2

wurzel(O/6) = a.

(O/6)^{1/2} = a.

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Naja da gibt es eigentlich nicht viel zu verstehen.


Hier steht das unter dem Kapitel Zusammenhang mit Potenzen

https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29


Das wird in der Mathematik einfach via Definition eingeführt. Also die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen ist definitionsgemäß das gleiche wie mit dem hochgestellten Bruch (also Bruch in der Potenz)


Lg