Ist die Gruppe isomorph zu S3? {x, 1/x, 1-x, x/(x-1), (x-1)/x, 1/(1-x)}

Question

ich muss diese Isomorphie zeigen aber ich komme leider nicht weiter.

Kann jemand bitte mir helfen?

Vielen Dank schonmal :)

Answer 1

Erstelle eine Verknüpfungstabelle und vergleiche sie mit der Verknüpfungstabelle von S_(3) .

Die Verknüpfungstabelle von S_(3) findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/S3_(Gruppe)#Einf.C3.BChrung 

Die für deine Gruppe musst du selbst erstellen.

Da deine Gruppe kein neutrales Element (also kein e wie S_(3), bei dem sich nichts passiert) enthält, ist sie  aber wohl nicht isomorph zu S_(3) . 

EDIT: Da deine Gruppe doch ein neutrales Element (also ein e wie S_(3), bei dem sich nichts passiert x ↦ x) enthält, ist sie  aber wohl isomorph zu S_(3) . Betrachte deine Verknüpfungstabelle umd das festzustellen.

Die sogenannte Komposition oben ist ja keine Multiplikation!

Man wendet die Funktionen aufeinander an. Konkret nachgerechnet:

(1-x) ° 1/x   | zuerst Kehrwert, dann (1-Resultat) anwenden.

= 1 - (1/x)

= x/x - 1/x

= (x-1)/x

Comments

Sie ist isomorph zu S3, dies liegt daran dass die Gruppenverknüpfung die Komposition ist und dabei ist x unser neutrales Element. Dies steh auch bei dem Link den du gepostet hast unter "Transformationengruppe".

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Sehr gute Bemerkung. Danke. Ich hatte nicht beachtet, dass x ↦ x das neutrale Element der aufgezählten Gruppe ist. Habe das nun oben korrigiert und hoffe, dass der Gast bi5111 das nach dem Erstellen der Verknüpfungstabelle oder der Lektüre des Links selbst bemerkt hat.