Aufgabe:
Sei (G, *) eine zyklische Gruppe und g ∈ G mit
G =⟨g⟩. Zeigen Sie:
a) Die Abbildung f: (Z,+) → (G,*), k↦gk , ist ein Gruppenhomomorphismus.
b) G ist entweder isomorph zu ℤ oder G ist isomorph zu ℤ/nℤ für ein n ∈ ℕ.
Problem/Ansatz:
Die a) habe ich bereits gezeigt.
Mein Ansatz für die b) wäre:
Sei H ⊂ ℤ eine Untergruppe. Wenn H = {0}, so wählen wir n = 0. Andernfalls sei n > 0 die kleinste natürliche Zahl in H.
Sei m ∈ H. Dann gibt es q,r ∈ ℤ mit 0 ≤ r < n, so dass m = qn + r.
Wegen n,m ∈ H gilt auch r ∈ H. Nach Wahl von n und r muss r = 0 sein. Also liegt m in nℤ. Jede zyklische Gruppe ist isomorph zu ℤ/H für einen Normalteilet H ⊂ ℤ. Im Fall n = 0 erhält man ℤ/{0} ≅ ℤ mit unendlicher Ordnung. In jedem anderen Fall ist die Faktorgruppe ℤ/nℤ endlich und hat die Ordnung n > 0.
Reicht dies bereits aus um die Behauptung zu beweisen? Würde mich über eure Kommentare freuen.
und Grüße
