Momentane Änderungsrate, Vermutungen über Ableitungen: Differenzenquotienten für kleine h?

Question

Ich muss zu morgen eine Aufgabe machen, aber leider verstehe ich sie überhaupt nicht. Sie lautet:

"Stelle eine Vermutung über die Ableitung von f an der Stelle -1 auf, indem du die Differenzquotienten für kleine Werte von h berechnest. 

a) f(x)=x²

b) f(x)=2/x

c) f(x)=2x²-3

d) f(x)=x⁴

 

^{Ich habe echt keine Ahnung, was ich da machen soll, wir sollen uns das selbst erarbeiten, dazu sollen wir glaube ich Graphen zeichnen, und Tangenten durchzeichnen, aber wie funktioniert das? :(( Bitte MIT ERLÄRUNG, sonst hilft es mir nichts!}

^{DANKE! :-))}

Answer 1

Hi Finja, 

beim Differenzenquotienten wird das Steigungsdreieck zwischen 2 Punkten des Graphen betrachtet und

[f(x₂) - f(x₁)] / (x₂ -x₁) 

berechnet.

Man schreibt dann für x₂ : x₀ + h

und lässt dieses h ganz klein werden, so dass man ein winziges Steigungsdreieck erhält und damit die Ableitung bzw. den Anstieg an dieser Stelle.

Machen wir das mal: 

a)

f(x) = x² an der Stelle x₀ = -1

Differenzenquotient: 

[f(x₀ + h) - f(x₀)] / [(x₀ + h) - x₀]

x₀ = -1 einsetzen: 

[(-1 + h)² - (-1)²] / [(-2 + h) - (-2)]

(1 - 2h + h² - 1) / (-2 + h + 2)

(h² - 2h) / h

Im Zähler h ausklammern ergibt

h (h - 2) / h

Durch h gekürzt

h - 2

Wenn h beliebig klein wird, strebt h - 2 natürlich gegen -2, 

und das ist genau der Anstieg der Funktion im Punkt x₀ = -2

f(x) = x²

f'(x) = 2x

f'(-1) = 2 * (-1) = -2

 

Bei den anderen Aufgaben geht man genauso vor. 

Graphen zeichnen ist ja ganz einfach: 

Du erstellst Dir eine kleine Wertetabelle, gehst den jeweiligen x-Wert nach rechts oder links und den jeweiligen y-Wert nach oben oder unten. 

Beispiel f(x) = x²

x        f(x)

-2      4                                      ein Punkt an der Stelle (-2|4)

-1     1                                       ein Punkt an der Stelle (-1|1)

0      0                                       ein Punkt an der Stelle (0|0)

1      1                                       ein Punkt an der Stelle (1|1)

2      4                                       ein Punkt an der Stelle (2|4)

Eine Tangente kannst Du folgendermaßen einzeichnen:

Wir hatten gesehen, dass die Funktion f(x) = x² an der Stelle x₀ = -1 die Steigung -2 hat. Du gehst also an den Punkt (-1|1)

- denn f(-1) = 1 -

und zeichnest die Tangente, die ja auch die Steigung -2 hat so ein:

Eine Stelle nach rechts (x₀ + 1) und 2 Stellen nach unten.

Dann bist Du an der Stelle (0|-2). Diese Gerade kannst Du jetzt beliebig in beide Richtungen verlängern und hast damit die Tangente am Punkt (-1|1).

Besten Gruß