Extremwertaufgabe. Aus einem dreieckigen Brett der nebenstehenden gezeigten Form soll ...

Question

Frage: Wie rechne ich diese Aufgabe?Bitte Schritt für Schritt erklären..

Aufgabe:

Aus einem dreieckigen Brett der nebenstehenden gezeigten Form soll eine möglichst große rechteckige Platte geschnitten werden.

Welchen Flächeninhalt hat diese?

Tipp: Denken sie an den ersten Strahlensatz.

 

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Falls Leim zulässig, dann so:

Answer 1

(40-b)/a=40/60 oder a=3/2(40-b). Einsetzen in F=a·b ergibt F(b)=3/2(40-b)·b= 3/2(40b-b²). Nullstelle der Ableitung ist eine Seite des maximalen Rechtecks.

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Danke für deine Antwort :)

Aber kannst du mir bitte noch mal etwas übersichtlicher erklären, was du gemacht hast?

Wie bist du zB. auf  (40-b)/a=40/60 gekommen?Du hast das ja in die 1. Strahlensatzformel eingesetzt oder?Aber woher wusstest du genau was du einsetzen musstest?Beispielsweise (40-b)?

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Ich habe in deine Skizze noch das rechteckige Brett mit den Seitenlänge a (parallel und auf der 60 cm Seite des Dreiecks) und b (parallel und auf der 40 cm Seite des Dreiecks) eingezeichnet. Dann bin ich dem Tipp gefolgt.

Answer 2

Diese Aufgabe kann auch mit Differentialrechnung
/ Extremwertberechnung berechnet werden.

Ich habe das Brett einmal in den 1.Quadranten eingezeichnet.
Die Schräge des Bretts ist die Funktion
f ( x ) = -60/40 * x + 60

Das auszusägende Rechteck ( Fläche ) hat die Funktion
A ( x ) = x * f ( x ) = x * ( -60/40 * x + 60 )
A ( x ) = -1.5 * x^2 + 60 * x
Es gilt den Extremwert der Funktion festzustellen.
A ´( x ) = -1.5 * 2 * x + 60
- 3 * x + 60 = 0
x = 20
f ( 20 ) = 30

Das größte Rechteck hat die Abmessungen
20 * 30 cm = 600 cm^2

mfg Georg

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Es fehlt der Nachweis, dass das Rechteck in dieser

(oder irgend einer anderen) Lage nicht größer werden kann.

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Beim schrägen Rechteck wäre der Flächeninhalt auch 6, wenn ich richtig gerechnet habe.

Answer 3

Unter der Annahme, dass der rechte Winkel des Dreiecks (bei B) Teil des Rechtecks sein soll (eine andere Möglichkeit hat gast hj2166 skizziert)

gibt es diverse Ansätze zur Lösung. Zu maximieren ist jeweils die Fläche = b h des Rechtecks. Die bei jedem Lösungsansatz gefundene Gleichung mit b und h muss entweder nach b oder nach h aufgelöst werden, und dann eingesetzt werden in die zu maximierende Funktion b h. Das Maximum ist dort, wo die erste Ableitung der Flächenfunktion null ist.

A) Strahlensatz

Wenn Punkt A der Scheitel der beiden Strahlen ist, dann gilt der (m.E. zweite) Strahlensatz "Es verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die ihnen entsprechenden, vom Scheitel aus gemessenen Strecken auf jeweils derselben Geraden":

60 / h = 40 / (40-b)

B) Steigung von AC

h = 60 - 3/2 b

C) Satz des Pythagoras

√((40 - b)² + h²) + √(b² + (60-h)²) = √(40² + 60²)

woraus folgt h = -3/2 (b - 40)

D) Trigonometrie

tan α = 60 / 40 = h / (40 - b)

E) Integralrechnung

Man integriert über die ganze Breite hinweg die Höhe h und erhält so den Flächeninhalt:

wobei die rechte Seite der Gleichung wiederum zu maximieren ist.

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Bei dem weiter oben von gast hj2166 skizzierten Fall, dass die Länggseite des Rechtecks an der Hypotenuse des Dreiecks liegen soll

gilt für die Hypotenuse wegen Pythagoras AC = √52 und für α (den Winkel bei A):

α = arcsin (60 / √5200)

und weil auch gilt α = arcsin (b / x) folgt b = x sin α

Zudem gilt h = (40-x) / cos α

Zu maximieren ist die Fläche b h = x sin (arcsin (60 / √5200)) * (40 - x) / cos(arcsin (60 / √5200)).

Das Maximum liegt bei x = 20 und somit, aufgrund der oben unterstrichenen Formeln, bei b = 16.64, h = 36.06 und einer Fläche von ebenfalls 600.