Konvergenz über das Quotientenkriterium prüfen. Ist das richtig gerechnet? ∑_(k=0) ^{∞} k^k / k!

Question

EDIT: Kopie aus 4. Kommentar: summe von k=0 bis ∞ für k^k/k! 

∑_(k=0) ^{∞}  k^k / k! 

Ich habe folgendes gerechnet und würde gerne wissen, ob ich da richtig bin.
Denn ich soll über das Quotientenkriterium prüfen ob die Reihe konvergiert.
Was ich halt bohrt ist der Hinweis dass der lim (1 + 1/k)^k =e ist, daher bin ich mit der Rechnung stutzig.

Danke für eure Hilfe

Comments

Sorry, kann nicht entziffern was im Zähler, was im Nenner steht. Steht in der Summe kⁿ / k! ?

Und was steht unter dem Summenzeichen für ein Index. Von n=0 bis ∞ oder von k=0 bis ∞ ???

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ja genau k^n/ k!
und es geht von k=0 bis ∞ .

Sind alles k

Sorry!

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Dann ist also n eine Konstante. Dann bildest Du |a_k+1| / |a_k|  = (k+1)ⁿ / (k+1)! • k! / kⁿ und rechnest weiter ... :-)

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Aber da ist doch kein n
Hab mich voll verschrieben gerade.
Nochmal hier

summe von k=0 bis ∞ für k^k/k!
Und dafür die Frage ob es richtig ist die Rechnung.

Sorry

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Steht in der Summe kⁿ / k! ?
Und Du antwortest: ja genau kⁿ/ k!
und es geht von k=0 bis ∞ .

Doch da wurde ich stutzig: "Sind alles k"

LOL

Answer 1

"Was ich halt bohrt ist der Hinweis dass der lim (1 + 1/k)^k =e ist, daher bin ich mit der Rechnung stutzig."

Zurecht!

Comments

Oh mann, die Schritte ergeben alle Sinn.
Hab es nach dem anschauen mal probiert und ja so divergiert sie also.
Ich wäre gar nicht auf die Tricks gekommen, z.B. in Zeile 2 wo du die Nenner vertauscht hast, da ja eh das gleiche rauskommen muss, was ja logisch ist bei einer Multiplikation.

Vielen dank nochmal.

Answer 2

∑_(k=0) ^{∞}  k^k / k!  

Wegen k^k keine Potenzreihe. 

Ausserdem konvergiert die Summandenfolge nicht gegen 0. 

D.h. die Reihe hat keinen Grenzwert / existiert nicht. 

Summandenfolge:

 k^k / k!   ≥ 1 , k > 0.

∑_(k=0) ^{∞}  k^k / k!  

= 0^{0} / 0!  + ∑_(k=1) ^{∞}  k^k / k!  

≥ 0^{0} / 0!  + ∑_(k=1) ^{∞}  1 

= + ∞

Comments

Also ist meine Rechnung falsch und die Reihe divergiert?

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Du hast vielleicht richtig umgeformt. Aber du kannst weder schliessen, dass die Reihe konvergiert, noch dass sie konvergiert.

Darum muss man einen andern Ansatz suchen.

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Beispiel 3 mit einer Potenzreihe hat zusätzlich noch ein z^n daneben.

https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium#Beispiele 

Ausserdem sind dort Zähler und Nenner vertauscht.