Verständnisfrage. Cauchy-Produkt

Question

Guten Tag MatheLounge,

undzwar habe ich eine Verständnisfrage bzg. des Cauchy-Produktes

Sind

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n \, , \sum_{n=0}^{\infty} b_n$$

zwei konvergente Reihen, dann ist die Reihe $$\sum_{n=0}^{\infty}c_n$$ mit $$\sum_{n=0}^{\infty}c_n = \sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k} = \sum_{i+j=n}^{}a_ib_j$$

ebenfalls konvergent.

Nun warum zieht man beim  $$\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$$ vom $$a_kb_{n-k}$$ das k vom n ab im Index ?

Dient es dazu um die Indizes auszugleichen ?

Und warum ist  $$\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$$ = $$a_kb_{n-k} = \sum_{i+j=n}a_ib_j$$

bzw. warum ist i+j=n ?

Hoffe jemand kann mich aufklären.

BlackFrost

Comments

Hallo BlackFrost,
Du hast die Gleichungen nicht richtig abgeschrieben, da ist noch ein Summenzeichen zu viel vor den Koeffizienten c_n.

Answer 1

Hallo BlackFrost,

"Nun warum zieht man beim das k vom n ab im Index ?"
So lassen sich die Koeffizienten c_n darstellen bzw. berechnen.
Vergleiche mit den Koeffizienten c₀, c₁, c₂ hier(über den geschweiften Klammern) https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel#Definition Hier ein Beispiel bis n=2:

"...bzw. warum ist i+j=n ?"
So lassen sich ebenfalls die Koeffizienten c_n darstellen bzw. berechnen. Das ist wie bei einer Polynommultiplikation.
c_n ist die Summe aller a_ib_j von n=0 bis Unendlich, deren Indizes i,j in der Summe n ergeben, wobei n der aktuelle Laufindex ist.

P.S. hier vielleicht noch ein Beispiel für n=5:

Beste Grüße
gorgar

Comments

Vielen Dank gorgar!
Habs jetzt geschnallt :)

BlackFrost

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Gern geschehen! :-)

Beste Grüße
gorgar