Stationäre Stelle und globales Minimum

Question

Ich habe die Funktion: f(x,y)=16x²+4xy+81y²+3y+10

Ich soll nun die stationären Stellen bestimmen und die Frage beantworten, ob f ein globales Minimum hat.

Ich habe jetzt die stationäre Stelle raus mit: x=3/192 und y=-6/323

Ich weiß nur nicht so ganz wie ich die Frage nach dem globalen Minimum beantworten soll

Answer 1

Hallo JVC,

Extremwerte von f(x,y):

 für jede stationäre (kritisiche) Stelle prüfst du durch Einsetzen:

f_xx • f_yy - f_xy²    > 0  →  Extrempunkt     [ Determinante der Hessematrix ]  

                         < 0  →  Sattelpunkt

                         = 0     erfordert weitere Betrachtung mit der Hessematrix

im Fall "Extremum" weiter:

f_xx  < 0  →  Hochpunkt 

       > 0  →  Tiefpunkt

       = 0   kann nicht vorkommen

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Hier:  einzige stationäre Stelle  ( 3/1292 | - 6/323 )   (da hast du einen Tippfehler)

f_xx · f_yy - f_xy²   =  32 * 162 - 4² > 0   →  Extremmum

f_xx  =  32 > 0  →  Tiefpunkt

Nachtrag:

Wenn die 2. partiellen Ableitungen - wie hier - nicht mehr von x und y abhängig sind, ist ein lokales Minimum (Maximum) immer auch global.

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Hier kannst du dir deinen 3D-Graph (auch für spätere Fälle :-))  auf einem 

 Online-Plotter   ansehen:

Gruß Wolfgang

Comments

Jetzt habe ich noch zwei Probleme :

1. Hatten wir noch nie die Hesse Matrix. Steht auch nicht im Skript

2. Wie begründe ich das es kein lokales sodern ein globales minimum ist?

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???                        

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1.  Aus dem Grund habe ich Bedingungen ausformuliert, die den Begriff  Hessematrix nicht      erfordern. Irgendwelche Bedingen muss man euch ja wohl an die Hand geben.

2. Wenn   f_xx · f_yy - f_xy²  ( also die 2. Partiellen Ableitungen) - wie hier - nicht mehr von x und y abhängig sind, ist ein lokales Minimum (Maximum) immer auch global.

http://massmatics.de/merkzettel/#!217:Globales_Extremum_-_mehrdimensionale_Funktion

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danke ;)

2 Frage noch zum abschluss.

mit f_xx meinst du also f zweimal partiell nach x abgeleitet?

Warum erfolgt die Hoch/tiefpunktsunterscheidung durch f_xx ?

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> mit f_xx meinst du also f zweimal partiell nach x abgeleitet?

Ja, das ist eine viel benutzte vereinfachte Schreibweise

> Warum erfolgt die Hoch/tiefpunktsunterscheidung durch f_xx ? 

Das kannst du analog zu f(x) mit Defiitionsbereich ℝ sehen:

Für die stationären Stellen mit f '(x) = 0 gilt

f " (x) > 0  →  Minimum

f " (x) < 0  →  Maximum

Answer 2

Ueberlege Dir, dass die Funktion ein globales Minimum haben muss. (Verhalten für \(|(x,y)|\to\infty\) + Satz, dass auf kompakten Mengen Minima und Maxima angenommen werden.) Dann: Das globale Minimum ist auch ein lokales. An der entsprechenden Stelle muss \(\nabla f\) verschwinden. Da es nur eine Stelle gibt, an der \(\nabla f\) verschwindet, ist das die gesuchte Stelle, an der das globale Minimum angenommen wird.

Comments

ok, vielen Dank. Das hilft mir bei einer anderes Aufgabe dazu weiter ;=

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Bei dieser auch, denn die anderen Antworten geben kein globales Minimum her. Ausserdem verwenden sie Dinge, die offensichtlich nicht benutzt werden sollen.

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> Bei dieser auch, denn die anderen Antworten geben kein globales Minimum her.

Ich denke, für diesen Fall geben die Minikriterien in meiner Antwort das globale Minimum her.

> Hatten wir noch nie die Hesse Matrix. Steht auch nicht im Skript

Deshalb denke ich, dass in der Aufgabenstellung ein solcher "Minifall" wohl mit Absicht so angegeben wurde.

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Ich denke, für diesen Fall geben die Minikriterien in meiner Antwort das globale Minimum her.

Warum sollte ein Kriterium für ein lokales Minimum hergeben, dass es sich auch um ein globales handelt? Was meinst Du mit "diesem Fall"? Die konkrete Funktion? Oder die Tatsache, dass es genau eine kritische Stelle gibt? Aus der Funktion selber ergibt sich natuerlich alles. Daraus, dass es genau eine kritische Stelle gibt, folgt m.E. gar nichts.

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Ich meine natürlich die konkrete Funktion.

Aus meinem 1. Kommentar zu meiner Antwort:

>  Wenn   f_xx · f_yy - f_xy²  ( also die 2. partiellen Ableitungen) - wie hier - nicht mehr von x und y abhängig sind, ist ein lokales Minimum (Maximum) immer auch global.

Das hätte ich besser gleich in die Antwort geschrieben, habe das jetzt in der Antwort nachgetragen.

Für seine konkrete Funktion war der FS also "vollständig bedient" - und das so einfach wie möglich - was er in seinem Kommentar zu deiner Antwort auch richtig zum Ausdruck gebracht hat.

Das ändert natürlich nichts daran, dass deine Antwort für allgemeine Fälle sehr hilfreich ist.

Answer 3

Du must auf jeden Fall die Hesse Matrix berechnen.