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sei $$ S = \{0,1,2,3,4\} $$ ein Zustandsraum mit der Übergangsmatrix

$$ P=\left(\begin{array}{ccccc}0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\ $$

Welcher Zustand ist rekurrent und transient?

Ich muss ja eigentlich nur die folgende Summe (Wikipedia) ausrechnen:

$$ \sum_{n \in \mathbb {N}} p_{ii}^n  = \sum_{n \in \mathbb N} P(\tau_{ii} = n) $$ Wobei tau die Rückkehrzeit ist. Wenn diese Summe für den Zustand i gleich 1 ist, ist der Zustand rekurrent und für kleiner 1 transient.


Wie rechne ich diese Summe aber nun konkret aus, könnte mir das mal bitte jemand an dem obigen Beispiel exemplarisch zeigen, damit ich die anderen Aufgaben selbst machen kann.

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Bei endlichem Zustandsraum erkennt man einen transienten Zustand S daran, dass es einen weiteren Zustand R gibt, so dass im Übergangsgraph ein Pfad von S nach R aber keinen von R nach S gibt.

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