Untervektorraum, Komplement, wahre und falsche Aussagen

Question

Sei U ⊆ Rn ein Untervektoraum. Einen Untervektorraum U ′ ⊆ Rn nennt man Komplement von U , wenn U ⊕ U ′ = Rn gilt. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie und geben Sie bei falschen Aussagen ein konkretes Gegenbeispiel in R2 an.

(a) Zu jedem U ⊆ Rn existiert (mindestens) ein Komplement. 

(b) Zu jedem U ⊆ Rn existiert genau ein Komplement.

(c) Zu jedem U ⊆ Rn existiert (mindestens) ein Komplement, das eine Basis aus Standardbasisvektoren besitzt. 

(d) Zu jedem U ⊆ Rn existiert genau ein Komplement, das eine Basis aus Standardbasisvektoren besitzt. 

Kann dazu leider nichts finden und mein Skript ist mir auch nicht hilfreich. Könnte jemand helfen?

Answer 1

Ergänze eine Basis von U zu einer Basis von R^n.

Entferne aus der Basis von R^n die Basis von U.

Übrig bleibt eine Basis von U'.

Comments

Vielen Dank für die Antwort !

Habe sie leider nicht ganz verstanden. Wozu gehört das ? Soll ich das machen oder sind es schon Gegenbeispiele?