Zeigen Sie, dass der Untervektorraum ker(f ) ein Komplement des Untervektorraumes im(f ) ist.

Question

Aufgabe:

Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und sei f ∈ Hom(V, V ) mit
f ◦f = f . Zeigen Sie, dass der Untervektorraum ker(f ) ein Komplement des Untervektorraumes
im(f ) ist.

Answer 1

$$v = f(v) + (v - f(v)), f(v) \in im(f), f(v-f(v)) = 0,$$ also V = im(f) + ker(f). Wenn $$f(v) = 0, v = f(w),$$ so $$v = f(w) = f(f(w)) = f(v) = 0.$$