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Ich habe eine kurze Frage:

Gegeben ist die Matrix:
$$ \begin{pmatrix}  3 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 &-1 \\ \end{pmatrix} $$
Ich soll dabei g∈GL3(ℝ) so bestimmen, dass gilt:

\begin{pmatrix} I_k & 0 & 0 \\ 0 & -I_l & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\end{pmatrix} 

Das Verfahren ist eigentlich klar. Ich soll erstmal s(v,v)=<v,Av> bestimmen, dann die quadratische Ergänzung wobei man  s(v,v)=<v,Av> zunächst als Funktion von v3 betrachten soll.

Ich habe berechnet: <v,Av> =  $$ 3v_1^2-1v_3^2-2v_1v_2+2v_2v_3 $$

Meine Frage ist, wie ich hier nun das mit der quadratischen Ergänzung machen kann..


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Eine exakte Aufgabenstellung wäre hilfreich.

Das ist die Aufgabenstellung Bild Mathematik

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Nach meinen Berechnungen lautet die Abbildung \(s\) mit \(v=(v_1,v_2,v_3)^\top\)  folgendermaßen$$s(v,v)=\langle v,Av\rangle=v^\top\!\!Av=3v_1^2-v_3^2+2v_2v_3=3v_1^2+v_2^2-(v_3-v_2)^2.$$

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Ich habe das so gerechnet:

$$v^TAv$$ Es resultiert $$  v_1(3v_1-v_2) + (v_2-v_3)v_3+v_2(v_3-v_1) $$ = $$ 3v_1^2-v_2v_1+v_2v_3-v_3^2+v_2v_3-v_1v_2$$ 

=$$ 3v_1^2-1v_3^2-2v_1v_2+2v_2v_3 $$

Sollte das erste Minuszeichen nicht ein Pluszeichen sein?

Oder fehlt ein Minuszeichen in der gegebenen Matrix?

Oh man.. Ich sehe es gerade.. Ich habe bei der Matrix einen Fehler gemacht.. Es steht (1,0,1) statt (-1,0,1)


Die Matrix aus der geposteten Aufgabenstellung ist richtig..

Demnach wäre  denke ich

$$ 3v_1^2-1v_3^2-2v_1v_2+2v_2v_3$$  korrekt

Nur weiß ich immer noch nicht wie das mit der quadratischen Ergänzung gehen soll, sodass ich das in solch einer Form habe:

Bild Mathematik

Die quadratische Ergänzung könnte wie folgt aussehen:$$\large\begin{aligned}s(v,v)&=(3v_1^2-2v_1v_2\color{blue}{+v_2^2})-(v_3^2-2v_2v_3\color{blue}{+v_2^2})\\&=2v_1^2+(v_1^2-2v_1v_2+v_2^2)-(v_3-v_2)^2\\&=2v_1^2+(v_1-v_2)^2-(v_3-v_2)^2.\end{aligned}$$

Ok. Ich richte mich jetzt mal an dem Beispiel was ich gepostet habe:

Dann wäre

$$ =2v_1^2+(v_1-v_2)^2-(v_3-v_2)^2 =  w_1^2+w_2^2-w_3^2 $$

Es resultiert:  $$\\  w_1=2v_1$$

$$\\  w_2=v_1-v_2$$

$$\\  w_3=v_3-v_2$$

Dann gilt:

$$ B=\begin{pmatrix}  2 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}$$


Ob das so richtig ist weiß ich nicht. Es stand ja man soll  zunächst $$ s(v,v)=\langle v,Av\rangle$$ als Funktion von $$\\v_3 $$betrachten. Das habe ich jetzt nicht so ganz verstanden.

(1) Betrachte zunächst \(v_1\) und \(v_2\) als konstant und wende das Verfahren der quadratischen Ergänzung auf den Teil \(-v_3^2+2v_2v_3\) an, d.h.  addiere \(-v_2^2+v_2^2\). Resultat ist \(v_2^2-(v_3-v_2)^2\).
(2) Es sollte \(w_1=\sqrt2\,v_1\) heißen.
(3) Tipp: Wenn du \(\TeX\)-Code im Fließtext verwenden möchtest, verwende \\(\)(...\\(\)) statt $\(\)$...$\(\)$.

Alles klar. Dann lautet die Matrix


$$ B=\begin{pmatrix}  \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} $$

Ich verstehe aber hier beim Beispiel 
Bild Mathematik

nicht wie man von $$ B=\begin{pmatrix}  1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} $$
Plötzlich auf 
$$ \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} $$

im Skalarprodukt kommt--

Also ich hab jetzt nochmal rum geguckt, und bin jetzt mal auf folgendes Ergebnis gekommen:


\( s(v,v)=w_1^2+w_2^2-w_3^2 = < w,    \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\  0  & 0 & -1\end{pmatrix}w >\) = \(  < Bv, \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\  0  & 0 & -1\end{pmatrix} Bv>\)= \(< v,B^T\begin{pmatrix}  1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\  0  & 0 & -1\end{pmatrix}Bv> \) =

$$ A=B^T \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\  0  & 0 & -1\end{pmatrix}B$$

Daraus folgt

$$ g=B^{-1}= \begin{pmatrix} \frac {2}{\sqrt(2)}  & 0 & 0 \\ \frac {2}{\sqrt(2)} & -1 & 0 \\ \frac {2}{\sqrt(2)} & -1 & 1 \end{pmatrix} $$  Hier bin ich mir eher

Es folgt: $$g^TAg= \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\  0  & 0 & -1\end{pmatrix}$$


Die frage ist ob das alles so richtig ist ..

(1) Fehlt nach dem fünften Gleichheitszeichen nicht noch \(\langle v,Av\rangle\) oder steht es dort versehentlich?
(2) Deine Inverse von \(B\) ist nicht ganz richtig.

(1) Also das fünft Gleichheitszeichen, sollte eig, zu   A=B^T....B    gehöhren, war wohl von der Ordnung ungünstig


(2) Stimmt. Sie lautet dann ja: $$g=B^{-1}= \begin{pmatrix} \frac {\sqrt2}{2}  & 0 & 0 \\ \frac {\sqrt2}{2} & -1 & 0 \\ \frac {\sqrt2}{2} & -1 & 1 \end{pmatrix}  $$

Ich hoffe hier ist jetzt alles richtig..

(Man sollte ja g so bestimmen, dass die Matrix eine bestimmte Form hat, wie ich oben gepostet hatte, die trifft hier ja komischerweise nicht zu, deswegen bin ich leicht verwirrt)

Die Matrix \(g^\top\!\!Ag=\left(\begin{array}{cc|c}1&0&0\\0&1&0\\\hline0&0&-1\end{array}\right)\) hat mit \(k=2\) und \(l=1\) die gewünschte Form. Der dritte Block mit der Nullmatrix entfällt hier.

Ah super. Danke dir nochmal für alles.

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