Komposition von linearen Abbildungen

Question

Wie kommt man auf die markierten Stellen ?

Answer 1

Hallo eekn72! :-)
Das ist einfaches Einsetzen der Koordinaten, bzw. Funktionsargumente!

Die Funktion f bekommt drei Argumente x, y, z und macht daraus
drei neue Argumente:

1. "ein neues x" mit x = x - y
2. "ein neues y" mit y = y - z
3. "ein neues Z" mit z = 2y + 3z

Beste Grüße
gorgar

Comments

Hallo Gorgar,

Ich habe leider deinen Ansatz nicht verstanden. Kannst du es mir noch genauer erklären ?

Gruß

eekn72

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Also wie kommt man auf die

=((2x)-(x-y), (x-y)-(2y),2(x-y)+3(2y)

=(x+y,x-3y,2x+4y)

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Der Schritt fg(x,y) = f(2x, x-y, 2y) ist klar oder?

2x
x-y
2y

Obiges sind die Komponenten, die f bekommt und von f abgebildet werden
mit der Abbildungsvorschrift:

x := x-y         also ist x = x-y = (2x)-(x-y)
y := y-z         also ist y = y-z = (x-y)-(2y)
z := 2y+3z   also ist z = 2(x-y)+3(2y)

Also f(2x, x-y, 2y) = ((2x)-(x-y), (x-y)-(2y), 2(x-y)+3(2y))

Der letzte Schritt ist nur noch das Zusammenfassen von x und y
der jeweiligen Komponenten.

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Wie kann man zeigen, dass g und f lineare Abbildungen sind ?

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Wenn man für alle x, y ∈ ℝ^2

1) g(x) + g(y) = g(x + y) und
2) g(cx) = cg(x)

für alle c ∈ ℝ zeigen kann, dann ist g linear.

x = (a,b), y=(c,d). x, y ℝ^2

1)

g(x) + g(y) = g((a,b)) + g((c,d)) =

(2a, a-b, 2b) + (2c, c-d, 2d) =
(2a + 2c, a-b + c-d, 2b + 2d) = 
(2(a+c), (a+c)-(b+d), 2(b+d))

g(x + y) = g((a,b) + (c,d)) = g((a+c), (b+d)) =
(2(a+c), (a+c)-(b+d), 2(b+d))

g(x) + g(y) = (2(a+c), (a+c)-(b+d), 2(b+d)) = g(x) + g(y)

2)
c ∈ ℝ

g(cx) = g(c(a,b)) = g(ca, cb) = (2ca, ca-cb, 2cb) =
(c2a, c(a-b), c2b) = c(2a, a-b, 2b) = cg(x)


Insgesamt gilt g(x) + g(y) = g(x + y) und g(cx) = cg(x).
Das heißt, dass g linear ist.

Um zu zeigen, dass  f linear ist, verfährt man prinzipiell ebenso.

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Hallo Gorgar,

Um zu zeigen, dass f eine lineare Abbildung ist müsste man theoretisch zeigen, dass wie beim 1) f(x)+f(y)=f((a,b))+f((c,d))

(3a,a-b,3b) + (3c,c-d,3d) usw oder nur wo eine 2 ist eine 3 halt.

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Das Prinizipp ist gleich nur wo 2 stehen eine 3

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Hallo eekn72,

ja, das Prinzip ist gleich mit dem Unterschied, dass f Elemente aus ℝ^3 bekommt.

x = (a, b, c)
y = (d, e, f)

f(x) + f(y) = (x-b, b-c, 2b+3c) + (d-e, e-f, 2e+3f) ... usw.

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Also um die f zu zeigen, dass es eine Abbildung ist verstehe nicht ganz wie man das weiter machen muss. Also bei g ist es anders

f(x) + f(y) = (x-b, b-c, 2b+3c) + (d-e, e-f, 2e+3f)

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x = (a, b, c)
y = (d, e, f)

f(x) = f((a, b, c)) = (a-b, b-c, 2b+3c)
f(y) = f((d, e, f)) = (d-e, e-f, 2e+3f)

f(x) + f(y) = (a-b, b-c, 2b+3c) + (d-e, e-f, 2e+3f) =
(a-b+d-e, b-c+e-f, 2b+3c+2e+3f) = (a+d-(b+e), b+e-(c+f), 2(b+e)+3(c+f))

f(x+y) = f((a, b, c)+(d, e, f)) = f((a+d, b+e, c+f)) =
(a+d-(b+e), b+e-(c+f), 2(b+e)+3(c+f))