Bestimmen Sie alle ℝ-Vektorraumhomomorphismen (linearen Abbildungen)

Question

Aufgabe:

Es sei \( \varphi: \mathbb{R}^{5 \times 1} \rightarrow \mathbb{R}^{3 \times 1} \) gegeben durch

\( \varphi(x)=\left(\begin{array}{c} -2 x_{1}+3 x_{2}-7 x_{3}+18 x_{4}-x_{5} \\ x_{1}-x_{2}+3 x_{3}-7 x_{4}+x_{5} \\ x_{1}-2 x_{2}+4 x_{3}-11 x_{4}+x_{5} \end{array}\right) \)

für \( x \in \mathbb{R}^{5 \times 1} \).

Bestimmen Sie alle \( \mathbb{R} \)-Vektorraumhomomorphismen \( \psi: \mathbb{R}^{3 \times 1} \rightarrow \mathbb{R}^{5 \times 1} \) mit \( \varphi \circ \psi= \) \( \mathrm{id}_{\mathbb{R}^{3 \times 1}} \)

Ansatz/Problem:

Ich habe zunächst die Eigenschaft genutzt dass sich Homomorphismen als Matrizen darstellen lassen. Und die Abbildung geschrieben als:

\( \left(\begin{array}{ccccc}-2 & 3 & -7 & 18 & -1 \\ 1 & -1 & 3 & -7 & 1 \\ 1 & -2 & 4 & -11 & 1\end{array}\right) \)

mit Gauß angewandt komme ich auf

\( \left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)

Wie bestimme ich nun alle linearen Abbildungen von Ψ mit φ ο Ψ?

Answer 1

vielleicht hilft es, wenn man benutzt, dass jeder Hom durch die Bilder aller
Vektoren einer Basis festgelegt ist.

also psi( 1;0,0) gibt ein 5-Tupel (a;b;c;d;e) mit
phi( a,b,c,d,e) = (1;0;0)   weil  phi ° psi = id sein soll.

also Matrix von phi * (1;0;0) = (1;0;0)  gibt 3 Gleichungen für die a,b,c
und deine Rangbestimmung ( müsstest du dann mit der "rechten Seite" (1;0;0)
wiederholen führt dann auf irgendwelche Lösungen für a,b,c,d,e vermutlich
abhängig von zwei Parameter.
und das mit den anderen beiden Basisvektoren auch.