Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion Σ a^k*b^{n-k} = (a^{n+1} - b^{n+1})/(a-b) mit a≠b

Question

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion

n

Σ     a^k*b^n-k = (aⁿ⁺¹ - bⁿ⁺¹)/(a-b) mit a≠b

k=0

für alle n ∈ ℕ

Comments

Such doch einfach mal im Netz. Da gibt es tausende von Beweise. Auch in diesem Forum. Es lohnt doch nicht nur die Aufgabe einzustellen und das andere die Sucharbeit für Dich machen. Eigeninitiative!

Answer 1

IA: \( n = 0 \)

$$ \sum_{k=0}^n a^k b^{n-k} = 1 = \frac{a-b}{a-b}  $$

IS:

$$ \sum_{k=0}^{n+1} a^k b^{n+1-k} = \sum_{k=0}^{n} a^k b^{n+1-k} +a^{n+1} = b \frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}+a^{n+1} = \frac{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b}  $$