Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion Σ a^k*b^{n-k} = (a^{n+1} - b^{n+1})/(a-b) mit a≠b

Question

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion

n 

Σ     a^k*b^n-k = (aⁿ⁺¹ - bⁿ⁺¹)/(a-b) mit a≠b

k=0

für alle n ∈ ℕ

Comments

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Answer 1

IA: \( n = 0 \)

$$ \sum_{k=0}^n a^k b^{n-k} = 1 = \frac{a-b}{a-b}  $$

IS:

$$ \sum_{k=0}^{n+1} a^k b^{n+1-k} = \sum_{k=0}^{n} a^k b^{n+1-k} +a^{n+1} = b \frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}+a^{n+1} = \frac{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b}  $$