Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion: Summenformel

Question

Aufgabe
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:  

∑(von k=1 bis n) =1(4k−2)=2n^2 mit n∈N

Answer 1

zu zeigen A(n):  \(\sum\limits_{k=1}^{n} (4k-2)\) = 2n² 

A(1):  4 * 1 - 2 = 2 * 1²  ist wahr.

A(n) →  A(n+1)

\(\sum\limits_{k=1}^{n+1} (4k-2)\) 

                          n+1 - ten  Summanden aus ∑  abspalten:  

              =  \(\sum\limits_{k=1}^{n} (4k-2)\)  +  4*(n+1) -2

              =_IV  2n^2 +  4*(n+1) - 2 

              = 2n² + 4n + 2  =  2 * (n² + 2n + 1) 

              =  2 * (n+1)² 

Gruß Wolfgang