(a) Wähle $$ \epsilon > 0 \quad und \quad \delta = \epsilon^2 \quad x_0, x \in \left[0, \infty \right[ \quad |x_0-x|<\delta $$
O.B.d.A. sei $$x_0 \leq x \Rightarrow \sqrt{x_0} \leq \sqrt{x} \Rightarrow |\sqrt {x_0}-\sqrt {x}|=\sqrt {x}-\sqrt {x_0} $$
Lt. Voraussetzung gilt: $$ 0 \leq x_0 \leq x < x_0+\epsilon^{2} .$$Es folgt: $$x<x_0+\epsilon^{2} \leq x_0+2 \sqrt {x_0 \epsilon} + \epsilon^{2}=(\sqrt {x_0}+\epsilon )^{2}$$
Zieht man jetzt noch die Wurzel erhält man:
$$\sqrt{x} - \sqrt{x_0}=f(x)-f(x_0) < \epsilon$$
Damit ist die Funktion gleichmäßig stetig.
(b)
$$ Sei \quad x:=x_{0}+\frac {\delta }{2} \quad Nun \quad gilt: \quad |x-x_{0}|=\frac {\delta }{2}<\delta $$
$$ \Rightarrow x^2=(x_0+ \frac {\delta }{2})^2=x_0^2+x_0 \delta +\frac {1}{4} \delta ^2 \geq x_0^2+x_0 \delta $$
Weiterhin gilt:
$$ |x^2-x_{0}^{2}|=(x_{0}+\frac {\delta }{2})^2-x_{0}^2=x_{0}^2+\delta x_{0}+\frac {\delta ^2}{4}-x_{0}^2\geq \delta x_{0}. $$
Sei nun:
$$x_{0} \geq \frac {1}{\delta } \quad dann \quad ist \quad |x^2-x_0^2| = \epsilon \geq 1$$
Somit ist die Funktion nicht gleichmäßig stetig.
(c)
Wähle $$ \quad x= \frac {1}{n} \quad und \quad x_0= \frac {1} {2n} \quad mit \quad n \in \mathbb{N} $$
Dann ist: $$|x-x_0|=\frac {1}{n}-\frac {1}{2n}=\frac {1}{n} \leq \epsilon $$
Und es gilt:
$$\delta = |f(x)-f(x_0)|=|n-2n|=n \geq 1$$
Damit ist die Funktion nicht gleichmäßig stetig.
(d) sollte man jetzt aber selber hinbekommen, bei Fragen bitte melden.
