Richtungsableitung der Determinanten bestimmen

Question

Bestimmen Sie für die Determinante det: K^{ℕ×ℕ}→K die  Richtungsableitung δ_A det(I_N) in der Einheitsmatrix I_N   ∈ K^{ℕ×ℕ} mit einer beliebigen ("Richtungs")-Matrix A ∈ K^{ℕ×ℕ}.

Hinweise: Versuchen sie erst N=2 , eventuell auch N=3. Übrigens gibt es viele äquivalente Matrizen-Normen, die K^{ℕ×ℕ} normieren, die Norm spielt hier überhaupt keine Rolle)

Answer 1

Nach Definition der Richtungsableitung ist $$(\partial_A\det)(I)=\lim_{t\to0}\frac{\det(I+tA)-\det I}{t}.$$ Fuer \(N=2\) und \(A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\) bekommt man $$\frac{\det(I+tA)-\det I}{t}=\frac{1}{t}\left[\det\begin{pmatrix}1+ta&tb\\ tc&1+td\end{pmatrix}-1\right]\to a+d\quad\text{fuer $t\to0$}.$$

Wie die Aufgabe vorschlaegt, kannst Du jetzt als naechstes noch den Fall \(N=3\) durchrechnen, und Dich dann dem Allgemeinfall widmen. Wird wohl \((\partial_A\det)(I)=\operatorname{Spur} A\) rauskommen.