Beweisen Sie, dass für jedes n ∈ N die n-te Ableitung f(n) der Funktion f : R → R mit f(x) = x · ex−1 durch
f(n)(x) = (x + n)ex−1
gegeben ist.
f(x) = x·e^{x - 1}
f'(x) = e^{x - 1}·(x + 1)
f''(x) = e^{x - 1}·(x + 2)
Induktion
f^{n}(x) = e^{x - 1}·(x + n)
f^{n + 1}(x) = e^{x - 1}·(x + n) + e^{x - 1}·(1) = e^{x - 1}·(x + n + 1)
Was zu beweisen war.
