f:R^3->R stetig. f^{-1} ([0,1]) abgeschlossen. Warum ist das Urbild nicht kompakt? Kompaktheit

Question

Hey ho liebe Mathemenschen,

folgende Aufgabe:

Warum ist das Urbild nicht kompakt?

Eigentlich bilden doch stetige Funktionen kompakte Mengen auf kompakte Mengen ab. Und genauso abgeschlossene. Aber ist nicht [0,1] eine kompakte Menge? Dann muss das Urbild doch kompakt sein?

LG

Comments

Betrachte: f(x,y,z): = sin(x)

Warum ist f^{-1} ([0,1]) nicht beschränkt?

Answer 1

Richtig ist

Eigentlich bilden doch stetige Funktionen kompakte Mengen auf kompakte Mengen ab.

aber es können auch nicht kompakte Mengen durch stetige Funktionen auf kompakte abgebildet werden,

Beispiel :   sin :  R ---> R  bildet ganz R ( was nicht beschränkt , also nicht kompakt ist ) auf [ -1 ; 1 ]

also ein kompaktes Intervall ab.

Ebenso würde das nicht abgeschlossenen Intervall    ] - 2pi ; 2pi  [  durch diese Funktion auf [ -1 ; 1 ]

abgebildet.