Bedingte Wahrscheinlichkeit Division

Question

Wie kann man Mathematisch nochmal erklären, dass man bei

P(B|A)= P(A∩B) / P(A)

nochmal durch P(A) teilt? Ich weiß, dass das durch Flächen gezeigt werden kann,

aber irgendwie hakts da grad.

Answer 1

Du kannst das mit Mengendiagrammen veranschaulichen:

Nun ist P(B | A) die Wahrscheinlichkeit, dass B gilt, wenn A gilt.

P(B | A) = P(AnB) / P(A) 

Comments

Diese Begründung der Formel P(B|A) = P(A∩B) / P(A)  gilt wohl erst einmal nur für Laplace_Experimente, bei denen alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind.

Sie wird dann für beliebige Zufallsexperimte als Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit übernommen.

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Du kannst die günstigen Ausfälle auch als Menge ansehen (Also nicht zählen sondern z.B. ein Intervall). Das Bild bleibt sich gleich.

Schau mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit#Wurfmaschine

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Auch dort geht es doch wohl um (unendlich viele) Elementarereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Ich wollte eigentlich nur klarstellen, dass es sich bei der Formel  P(B|A) = P(A∩B) / P(A) um eine Definition  handelt  und alle Begründungen lediglich Plasibilitätsbetrachteungen darstellen.

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Aber warum ist des denn nicht das gleiche wie A geschnitten B?

Ich verstehe ja son bisl, dass man auf B guckt und das nur unter der Voraussetzung, dass A eintritt, und A  geschnitten B sagt, dass es gleichzeitig eintritt, aber so richtig check ichs noch nicht.

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P(A n B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig stimmen. Hier hat Omega die Wahrscheinlichkeit 1.

P( B | A) ist die Wahrscheinlichkeit, dass B stimmt, wenn bekannt ist, dass A stimmt. Die Grundmenge ist in diesem Fall A. B \ A hat die Wahrscheinlichkeit 0. Ebenso hat Omega \ (A u B) die Wahrscheinlichkeit 0.

Du kannst in der Schule auch mit Vierfeldertafeln hantieren, so ergibt sich die verlangte Division durch die Wahrscheinlichkeit der "Bedingung" automatisch. Bsp. 4.1.a) mit Musterbearbeitung http://stochastik-in-der-schule.de/sisonline/struktur/jahrgang20-2000/heft1/2000-1_Strick.pdf