Hinweis: Statt ihn mit einem längeren Wurzelstrich zu überziehen, kannst du den Integranden auch einfach einklammern: √ ( x 2 - 1 )
Da f ( x ) = x / 3√ ( x 2 - 1 ) bei x = 1 eine Singularität aufweist, ist das Integral
∫12 f ( x ) dx
ein uneigentliches Integral ("improper integral").
Es wird berechnet, indem man die untere Grenze als Variable (etwa a) schreibt und dann den Grenzwert
lim a ↓ 1 ∫a2 f ( x ) dx
bestimmt:
lim a ↓ 1 ∫a2 x / 3√ ( x 2 - 1) dx
[Substitution v = x 2 - 1, dv/dx = 2 x => dv = 2 x dx => x dx = (1/2) dv ergibt:]
= lim a ↓ 1 ( 1 / 2 ) * ∫a2 ( 1 / 3√ v ) dv
= lim a ↓ 1 ( 1 / 2 ) * ∫a2 v ( - 1 / 3 ) dv
= lim a ↓ 1 ( 1 / 2 ) * [ ( 3 / 2 ) * v ( 2 / 3 ) ]a2
[Rücksubstitution: v = x ² - 1 :]
= lim a ↓ 1 [ ( 3 / 4 ) * ( x ² - 1 ) ( 2 / 3 ) ]a2
= lim a ↓ 1 ( 3 / 4 ) * 3 ( 2 / 3 ) - ( 3 / 4 ) * a ( 2 / 3 )
= ( 3 / 4 ) * 3√ 9 - 0
= ( 3 / 4 ) * 3√ 9
= 1,560 (gerundet)
