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Aufgabe 1.
Wir benutzen \( L U \)-Zerlegung, wobei wir die rechte Seite jeweils mit transformieren:
\( \begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \)
Der erste Schritt lautet:
\( \begin{array}{l|rrr|r} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \)
Da wir auf 0 nicht pivotieren können, vertauschen wir zweite und dritte Zeile:
\( \begin{array}{l|rrr|r} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & -1 & -2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \)
Der nächste Schritt lautet:
\( \begin{array}{lrrr|l} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & -1 & -2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \)
Der letzte Schritt lautet:
\( \begin{array}{rrrr|c} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & -1 & -2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \)
Durch Rückwärtseinsetzen finden wir die eindeutige Lösung \( x=(1,-1,1,-1)^{\top} \).
Tatsächlich haben wir also während des \( L U \)-Zerlegung durch Ausnutzen von
\( P A x=L(U x) \)
das Gleichungssystem \( L y=b \) gelöst, also das mit erweiterter Koeffizientenmatrix
\( \left(\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \)
Durch Vorwärtseinsetzen erhält man \( y^{\prime}=(1,0,0,1)^{\top} \), was nach Vertauschen der zweiten und dritten Zeile genau die rechte Seite \( y=(1,0,0,1)^{\top} \) des letzten erweiterten \( L U \)-Tableaus ist. Das Rückwärtseinsetzen entspricht dem zweiten Lösungsschritt \( U x=y \).
Frage: Kann mir jemand erklären, wie man auf die letzte Matrix gekommen ist, mit der man y = (1,0,0,1)^T bestimmt hat ?
