Aufgabe:
Für beliebiges w ∈ Sn ist die Abbildung L × (U ∩ w-1*U*w) → LwB, (l,u) ↦ lwu bijektiv.
Problem/Ansatz:
Ich brauche bitte Hilfe bei der Surjektivität. Zunächst zur Erklärung: es geht um die Bruhat Zerlegung. B ist die Gruppe der oberen invertierbaren Dreiecksmatrizen und U ist die Gruppe aller oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonalen. L ist die Gruppe aller invertierbaren unteren Dreiecksmatrizen.
Jetzt zu meinem Problem:
ich nehme ein g ∈ LwB, also g=lwb. ich schreibe B als D*U, mit D diagonalmatrizen. dann folgt g=lwb=lwdu. Wegen wd=d'w mit d' andere diagonalmatrix folgt dann g=(ld)*w*u mit (ld)∈L und u∈U.
Aber man braucht das u ja aus U ∩ w-1*U*w. ich verstehe einfach nicht wie man weiter machen kann. Kann mir bitte jemand helfen?
