Aufgabe zur Integralrechnung: a) Welche Strecke hat das Fahrzeug nach 5 Sekunden zurückgelegt? ...

Question

Folgende Aufgabe:

der Fahrtenschreiber einesSportwagens zeichnet  bei einer Testfahrt die Geschwindigkeit v des Fahrzeugs auf. Sie kann durch die Funktion v(t)= -24/25 (t^2 -20t) (t in s; v in m/s) beschrieben werden.

a) welche Strecke hat das Fahrzeug nach 5 Sekunden zurückgelegt?

bei dieser Aufgaben habe ich die 5 Sekunden in die Gleichung eingesetzt. Da bekam ich 72 m raus.

B) geben sie die zeit- weg- Funktion des Vorgangs an.

hier weiß ich einfach nicht mehr weiter..

c) wie lang ist die gesamte Wegstrecke?

vielleicht mit der p-q- Formel?

d) welchen Wert hat die Beschleunigung zum Zeitpunkt t=5s?

ich weiß nicht mehr weiter.. :(

Answer 1

Zu a) Die Funktion v ( t ) beschreibt die Geschwindigkeit des Fahrzeuges zum Zeitpunkt t in m/s. Wenn man also t = 5 s in die Formel einsetzt, erhält man die Geschwindigkeit, mit der das Fahrzeug 5 s nach seinem Start fährt. Diese Geschwindigkeit ist v ( 5 ) = 72 m/s (was schon recht sportlich ist, denn das entspricht etwa 260 km/h!

Der Weg hingegen , den das Fahrzeug in dem Zeitraum t0 bis t1 zurücklegt, ist gleich dem bestimmten Integral über v ( t ) in den Grenzen t0 und t1, also:

s ( t ) = ∫_t0^t1 v ( t ) dt

Mit den Grenzen t0 = 0 und t1 = 5 ergibt sich daraus:

s ( t ) = ∫₀⁵ ( - 24 / 25 ) ( t ² - 20 t ) dt

= ( - 24 / 25 ) * ∫₀⁵ t ² - 20 t dt

= [ ( - 24 / 25 ) ( ( t ³ / 3 ) - 10 t ² ] ₀⁵

=  200 - 0

= 200 m

Der Sportwagen beschleunigt also innerhalb einer Strecke von 200 m von 0 auf 260 km/h - und das in 5 Sekunden!

Zu b) Nun, die Zeit-Weg Funktion ist die Funktion, die angibt, welchen Weg das Fahrzeug innerhalb der ersten t Sekunden zurückgelegt hat. Sie ist "einfach" gleich dem soeben berechneten Integral, allerdings in der unbestimmten Form, also:

s ( t ) = ( - 24 / 25 ) ( ( t ³ / 3 ) - 10 t ² ) + const.

wobei die Konstante const. so gewählt werden muss, dass s ( 0 ) = 0 ist, denn zum Zeitpunkt 0 hat der Wagen ja 0 m zurückgelegt. Eine kurze Betrachtung zeigt: s ( 0 ) = 0 <=> const. = 0

Die Zeit-Weg-Funktion lautet also:

s ( t ) = ( - 24 / 25 ) ( ( t ³ / 3 ) - 10 t ² )

Sie sieht so aus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-24%2F25%29%28t%C2%B3%2F3-10t%C2%B2%29

wobei nur das Intervall [ 0 ; 20 ] relevant ist, Begründung unter c)

 

Zu c) Der Test endet, wenn das Fahrzeug wieder die Geschwindigkeit 0 erreicht hat. Dies ist zu demjenigen Zeitpunkt t der Fall, für den gilt:

v ( t ) = 0 UND  t <> 0 (denn t = 0 ist ja der Startzeitpunkt)

Berechne also:

v ( t ) = 0 

<=> ( - 24 / 25 ) * ( t ² - 20 t ) = 0

<=> t ² - 20 t = 0

<=> t ( t - 20 ) = 0

<=> t = 0 ODER t = 20

Wegen der Bedingung t <> 0 kommt hier nur t = 20 in Frage. Der Test endet also 20 Sekunden nach dem Start. (Dies ist auch die unter b) angesprochene Begründung). Zum Zeitpunkt t = 20 hat das Fahrzeug insgesamt die Strecke

s ( 20 ) = ( - 24 / 25 ) ( ( 20 ³ / 3 - 10 * 20 ² )

= 1280 m

zurückgelegt.

zu d) Die Beschleunigung wird gegeben durch die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit, also:

a ( t ) = v ' ( t ) = ( - 24 / 25 ) * ( 2 t - 20 )

Zum Zeitpunkt t = 5 s  beträgt die Beschleunigung also:

a ( 5 ) = ( - 24 / 25 ) * ( 10 - 20 ) = 9,6 m / s ²