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Ich habe die Funktion $$f\left( x \right) =\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+2 }$$

Wie bilde ich hiervon die Stammfunktion? Wäre Integration durch Substitution hier bei diesem Fall am besten?

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Wäre Integration durch Substitution hier bei diesem Fall am besten?

Ja, wenn man folgendes weiß:

$$ \int\frac { 1 }{ u^2+1 }du=arctan(u)+C $$

Nun versuche im Nenner die Form u^2+1 herzustellen!

3 Antworten

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Beste Antwort

1. Klammere 2 im Nenner aus

2. Substituiere

z= x/√2

dann kommst Du auf der Arc tan Funktion.

Avatar von 121 k 🚀

Wie komme ich auf die Substitution x/√2

Danke

indem Du Dir klarmachst, das das Ganze auf das arctan -Integral hinausläuft, ist aber wirklich schwer.

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Ich mache das mal etwas allgemeiner

∫ 1/(x^2 + a) dx

1/a * ∫ 1/((x/√a)^2 + 1) dx


Subst. z = x/√a

1 dz = 1/√a dx

dx = √a dz


1/a * ∫ 1/(z^2 + 1) √a dz

1/√a * ∫ 1/(z^2 + 1) dz

1/√a * arctan(z) + c


Resubst.


1/√a * ATAN(x/√a) + c

Avatar von 477 k 🚀

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