Allgemeine Lösung des AWP y'(t)+(y(t))/(t)=t2

Question

wie lautet die Allgemeine Lösung des AWP y'(t)+(y(t))/(t)=t²

Muss die Lösung mittels Variation der Konstanten finden.

Answer 1

$$\text{hom. Lösung:}\\y'(t)+y(t)/t=0\\y'(t)=-\frac { y(t) }{ t }\\\frac { dy }{ y }=-\frac { dt}{ t }\\ln|y|=-lnt+C\\|y|=\frac { D }{ t }\\y=\frac { c }{ t }\\\text{Variation der Konstanten: c=c(t)}\\y(t)=c(t)/t\\y'(t)=c'(t)/t-c(t)/t^2\\\text{in DGL einsetzen:}\\y'(t)+y(t)/t=t^2\\c'(t)/t-c(t)/t^2+c(t)/t^2=t^2\\c'(t)/t=t^2\\c'(t)=t^3\\c(t)=\frac { 1 }{ 4 }t^4+d\\ ->\\{y}=(\frac { 1 }{ 4 }t^4+d)/t=\frac { 1 }{ 4 }t^3+d/t\\$$