Untersumme von x+1 berechnen

Question

ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:

f(x) = x + 1 , I = [ 0 ; 1 ]     ( n geht nach unendlich)

Mein Ansatz:

Un = 1/n * [ 1 + (1/n + 1) + (2n + 1) + .... (n-1/n+1) ]

      = 1/n * [ n * 1 (1/n + 2/n + ... n-1/n) ]

      = 1/n * [n * ((n - 1) / 2 ) ]

      = 1/n * [ n² / 2 + -n / 2 ]

      = n^2 / 2n + -n / 2n

Answer 1

$$U_n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac kn+1\right)=\frac1n\left(\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}k+\sum_{k=0}^{n-1}1\right)=\frac1n\left(\frac1n\cdot\frac12n(n-1)+n\right)=\frac32-\frac1{2n}.$$

Answer 2

Hallo BH,

Zeichnung für Beispiel n= 4 :

Untersumme_(n)  =  1 * 1/n + (1+1/n) * 1/n + (1 + 2/n) * 1/n +  ... + (1+(n -1))/n) * 1/n

=  1/n + 1/n * [  1+1/n) + 1+2/n +  ... + 1+(n -1))/n

=   1/n + 1/n * [ (n-1) + 1/n + 2/n + ... + (n-1)/n ]   alle Summanden 1/n addieren sich zu n-1

=  1/n + 1/n * (n-1) + 1/n * [ 1/n + 2/n + ... (n-1) / n ]

=  1/n + 1/n * (n-1) + 1/n^2 * [ 1 + 2 + ... + (n-1) ]        1/n aus [...] ausgeklammert 

=  1/n + 1/n * (n-1) + 1/n^2 * 1/2 (n -1) * n   ( Summenformel   1+2+3+...+m = m/2 * (m+1) )

=  1 +  1/2 * 1/n * (n-1) * 1/n * n                       1/n^2 auf  ... 1/n * ... * 1/n * ...   verteilt 

=   1 + 1/2 * (1 - 1/n) * 1   =  1 + 1/2 - 1/(2n)  = 3/2 - 1/(2n)    →_n→∞   3/2

Gruß Wolfgang

Comments

Du hast/hättest vermutlich keine Abweichung von nn:

Untersumme Nr n:

U_(n) =   1 + 1/2 * (1 - 1/n) * 1   =  1/2 + (1 - 1/(2n)) = 3/2 - 1/(2n)

und darum als Grenzwert das Integral

∫ (1+x) dx = lim _n→∞   3/2 - 1/(2n) =  3/2

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Habe es gerade etwas anders hingeschrieben.

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Was muss ich machen, um deine neue Version zu sehen? Klick auf die Frageüberschrift genügt gerade nicht.

Mir wird immer noch

" =   1 * 1/2 * (1 - 1/n) * 1   =  1/2 + (1 - 1/n)     →_n→∞   3/2 " 

angezeigt :( 

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Danke für den Hinweis Lu!

Mir wird immer noch

" =   1 +  1/2 * (1 - 1/n) * 1   =  1/2 + (1 - 1/n)     →_n→∞   3/2 " 

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Das  * an Stelle von  +   war - wie man in der Zeile darüber sieht - einfach ein Schreibfehler (korrigiert)

Zugegebenermaßen hätte ich dann besser - weil wesentlich einfacher und übersichtlicher -                        1 + 1/2 - 1/(2n)  = 3/2 - 1/(2n)  geschrieben. 

(Irgendwie hatte ich wohl von der Herleitung für f(x) = x² die Klammer (1 - 1/n) - die als Faktor gegen 1 streben muss -  im Kopf und diese versucht "hinzubiegen" und es dabei gründlich vermasselt)  

Auch das habe ich jetzt gemäß dieser Einsicht geändert. 

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Wenn diese Untersumme in der Schule berechnet wird, ist man gerade erst dabei, den Integralbegriff zu entwickeln. Dieser dürfte also dem Fragesteller nicht bekannt sein. Ich habe auch erhebliche Zweifel daran, dass er bereits mit dem Summenzeichen ∑ (nn) umgehen kann (vergleiche seine Bemühungen!).  Deshalb meine "grundsätzlichere"  Darstellung, die mich viel Zeit gekostet hat :-) 

Aber was soll es, es ist halt zu meinem Hobby geworden, alles zu versuchen, unseren geplagten Fragestellern zu helfen. Ärgerlich, wenn dabei solch dumme Fehler passieren.  

@BH 

Sorry für die falsche letzte Zeile :-(