Punktprobe mit Parameter (Lagebeziehungen)

Question

Einen Teil der Aufgabe habe ich bereits selber gelöst, diesen werde ich hier nicht erneut aufschreiben. Ich poste nur den Teil, bei dem ich hänge. Außerdem wäre ich euch sehr dankbar, wenn ihr einen Lösungsansatz MIT Erklärung postet damit ich es nachvollziehen kann, danke dafür im voraus.

Gegeben ist die Ebene F: X = (2l1l1) + r* (1l1l0) + s* (-1l1l1)

Gegebene Punkte: A( 3l2l1), B (1l4l2) und C (-1l2-3) davon liegen A und C in E (vorher mit GTR berechnet)

Die Ebene F müssten eigentlich als Vektoren geschrieben sein, habe aber keine Ahnung wie das geht.

Für welchen Punkt der Parameter a liegen die Punkte D (a l a+3 l 3) und/oder F (a l 2a l3) in E?

Wäre euch dankbar wenn mir einer auch sagt wieso, die Schreibweise bei den Punkten unten so komisch ist.

Comments

" Die Ebene F müssten eigentlich als Vektoren geschrieben sein, habe aber keine Ahnung wie das geht. " Das verstehen wir schon, so wie du das geschrieben hast. Wichtiger wäre, dass es eine Gleichung sein muss: Ich ergänze "Vektor X  = " , wobei X = (x|y|z)  der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Ebene. 

Ebene F: X =  (2l1l1) + r* (1l1l0) + s* (-1l1l1)

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Was mache ich denn mit a? Ist das eine variable und nur a steht für 1?

Danke für die Antwort

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Zitat von unten (vom 19.9.):  " PS. Ist bei den "Parameterpunkten" immer noch die Ebene F gemeint? Weiter oben hast du auch schon "in E " geschrieben.  " 

Hast du die Originalfragestellung in einem Buch vor dir? Im Text oben stimmt etwas nicht. 

"Was mache ich denn mit a?" Die schleppst du mit in der Umformung. Vgl. meine Antwort unten. Du musst diese Punkte bei der Ebene E (nicht bei der Ebene F) einsetzen. 

Answer 1

An der Stelle von diesem X setzt du nun die fraglichen Punkte ein.

Wenn du alles schön untereinander schreibst, kannst du 3 Koordinatengleichungen mit den Unbekannten r , s und eventuell a herauslesen.

Aus 3 Gleichungen bringt man in der Regel 3 Unbekannte heraus. Wenn alles stimmt, liegen die Punkte auf der Ebene. Wo ein Widerspruch auftritt, stimmt das nicht. Versuche das mal und stelle bei Unklarheiten oder zur Korrektur deine Rechnungen ein.

PS. Ist bei den "Parameterpunkten" immer noch die Ebene F gemeint? Weiter oben hast du auch schon "in E " geschrieben.

Comments

Ebene E ist gegeben.

Der Punkt P soll darauf getestet werden ob er in E liegt. 
In meiner Aufgabe gibt es keine ebene F. 
Ich weiß halt nicht wie ich das mit a mache bzw. Was a sind und verstehe es auch mit dieser Erklärung nicht.

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Meinst du, dass es

" Gegeben ist die Ebene E: X = (2l1l1) + r* (1l1l0) + s* (-1l1l1) " 

heisst? Oder wie ist E gegeben? 

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Ja. Und wie geht es dann weiter ? Gauss?

Danke

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 (a l a+3 l 3)

einsetzen in X = (2l1l1) + r* (1l1l0) + s* (-1l1l1) 

(a |a+3| 3 ) = (2l1l1) + r* (1l1l0) + s* (-1l1l1) 

a = 2 + r - s        (I)

a+3 = 1 + r + s   (II)

3 = 1 + s             (III)  --> s = 2 

a = 2 + r - 2        (I)'

a+3 = 1 + r + 2    (II)'

Nun erst mal sortieren und dann noch Gauss falls noch nötig. 

Zum Vergleich (ohne Gewähr!) 

a =  r         (I)''

a = r     (II)''

Für beliebige a gibt es ein passendes r und s. D.h. alle Punkte D (a l a+3 l 3)  liegen auf E. 

Bei F (a l 2a l3) dann dasselbe noch einmal durchrechnen. 

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Habe enorme Probleme bei F. Da sich die Punkte D und F doch nur in ihrer Y-Koordinate unterscheiden, habe ich wieder die Gleichung 3 = s + 1, wodurch s = 2 gelten müsste und ich wieder a = r erhalte. Das widerspricht aber der Musterlösung a = 3...