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Hilfe zur dieser Matheaufgabe: Gegeben ist die Funktionsschar Ft (t=reelle positive Zahl). Bestimmen sie Nullstellen,Hoch-und Tiefpunkte und skizzieren sie den Graphen für t=1 t=2 t=3 Funktion: Ft(x)=x^2-2tx+t^2 und Ft(x)=tx^3-x Was muss ich tun?

danke falls mir jemand bei so einer schweren aufgabe helfen kann
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Du musst wie gewohnt die entsprechende Kurvendiskussion durchführen und dabei den Parameter t als Konstante betrachten. Das führt dazu, dass die Null- und die Extremstellen nicht (unbedingt), wie gewohnt, Konstante sind, sondern vom Wert des Parameters t abhängen (können). Ist ja auch logisch: Eine Funktionenschar liefert eine Graphenschar und die wiederum hat ggf. eine Schar von Nullstellen und Extremstellen. Diese werden durch die Werte des Parameters t unterschieden.

Ich mach's dir mal für die Funktion Ft ( x ) = t x - x vor:

Nullstellen:

Ft ( x ) = 0

<=> t x 3 - x  = 0

<=> x ( t x 2 - 1 ) = 0

<=> x = 0 ODER ( t x 2 - 1 ) = 0

<=> x = 0  ODER t x 2 = 1

<=> x = 0 ODER x 2 =1 / t

<=> x = 0 ODER x = +/- √ ( 1 / t )

Alle Funktionen der Schar Fhaben also unabhängig vom Wert des Parameters t bei x = 0 eine Nullstelle, ihre Graphen laufen also alle durch den Ursprung. Zudem hat jede der Funktionen der Schar in Abhängigkeit vom Wert des Parameters t noch jeweils bei +/- √ (1 / t ) eine Nullstelle.

Die Funktion F2 ( x ) etwa hat Nullstellen bei x = 0 sowie bei x = - √ ( 1 / 2 ) und x = √ ( 1 / 2 )

Extremstellen:

liegen höchstens dort vor, wo die erste Ableitung von Ft gleich Null ist, also:

Ft ' ( x )  = 3 t x 2 - 1 = 0

<=> 3 t x 2 = 1

<=> x 2 = 1 / ( 3 t )

<=> x = +/- √ ( 1 / ( 3 t )  )

An diesen Stellen liegen Maxima (Minima) vor, wenn die zweite Ableitung von F t an diesen Stellen kleiner (größer) als Null ist, also:

Ft ' ' ( x ) = 6 t x

F t ' ' ( - √ ( 1 / ( 3 t ) ) ) = 6 t ( - √ ( 1 / ( 3 t  ) )  

ist für alle positiven t ( nur solche sollen ja betrachtet werden) kleiner Null, hier liegen also Maxima von Fvor, während

Ft ' ' ( √ ( 1 / ( 3 t ) ) ) = 6 t √ ( 1 / ( 3 t ) )

für alle positiven t größer als Null ist, sodass an diesen Stellen Minima von Ft vorliegen.

F2 ( x ) etwa hat bei x = - √ ( 1 / ( 3 * 2 ) ) = - 0,41 ein Maximum und bei x = 0,41 ein Minimum.

Im folgenden Schaubild kannst du dir die Funktionen F1, F2 und F3 der Schar Fanschauen und die Nullstellen und Extremstellen mit den obigen Ergebnissen vergleichen, so gut es geht:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1x%5E3-x%2C2x%5E3-x+%2C3x%5E3-x+from-1to1

 

Auf die gleiche Weise gehst du bei der anderen Funktionenschar vor - das schaffst du nun alleine!

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