Catalan-Zahl und Binomialkoeffizenten. Zeigen sie die angegbene Identität.

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Sei n eine natürliche Zahl. Die n-te Catalan-Zahl ist definiert als.

Gefragt 22 Okt von SoUndead

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Falls die Rekursionsformel 

( n über k ) = (n-k+1) / k * ( n über k-1) bekannt ist,

siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Eigenschaften

ist es einfach:

(2n über n ) - ( 2n über n+1 ) 

= (2n über n ) - ( 2n-(n+1)+1) / (n+1) * ( 2n über n ) 

 = (2n über n ) * ( 1  - ( 2n-(n+1)+1) / (n+1)    ) 

 = (2n über n ) * ( 1  - ( n / (n+1)    ) 

= (2n über n ) * ( 1  / (n+1)    ) 

= Cn          q.e.d.

Beantwortet 22 Okt von mathef 123 k

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Gefragt 8 Jul 2014 von Gast bd2288
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